Доказательство (ДОК 2).

Необходимость. Пусть интеграл зависит только от начальной и конечной точки, и не зависит от пути, соединяющего точки А,В. Возьмём какой-нибудь замкнутый контур, разобьём его какими-нибудь случайно взятыми точками. Докажем, что циркуляция равна 0.

. Но так как объединение 2 частей в замкнутый контур это , то получается: .

Достаточность.

Пусть для любого замкнутого контура . Если даны какие-то точки А,В, и какие-то две различные линии, соединяющие их, то эти две линии можно объединить в единый замкнутый контур.

,

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути, причём тогда потенциал в любой точке  вычисляется в виде  где A₀  - некоторая начальная точка, как правило (0,0,0).

Доказательство (ДОК 3).

Необходимость. Если поле потенциально то , ,

а тогда в интеграле  получится  а по формуле полного дифференциала это  но ведь первообразная от производной - это сама функция U, тогда работа поля  в итоге равна  =  то есть зависит только от начальной и конечной точки.

Достаточность.

Если криволинейный интеграл для поля (P,Q,R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0,0,0). Введём некоторую скалярную функцию U(x,y,z) равную работе поля от (0,0,0) до точки А(x,y,z). То есть .

А теперь мы докажем, что именно эта функция является потенциалом.

Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А₁ равен U(А₁).

Координаты точек: А (x,y,z) и А₁ (x+∆x,y,z) .

Тогда  =   но в интеграле по отрезку АА₁  меняется только x,  при этом y, z константы, то есть dy = 0, dz = 0. 

 для некоторой промежуточной точки с, где достигается среднее значение.

Тогда ,  следовательно, = .

Но точка с тоже стремится к х при ∆x →0.

То есть . Итак, .

Аналогично, рассматривая точку А₁ с координатами А₁ (x,y+∆y,z) получили бы ,  а если то А₁ (x,y,z+∆z) то . Итак, поле потенциально и U(x,y,z), равная работе силы по перемещению от начальной точки до (x,y,z), является потенциалом. 

Следствие. Поле F потенциально  циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

       Доказанный критерий позволяет вычислить потенциал, если известно, что поле потенциально, однако практически ничем не поможет выяснить изначально вопрос о том, потенциально ли поле. Ведь кривых, соединяющих две точки А,В бесконечно много, и невозможно вычислить интегралы по всем этим кривым. Поэтому для проверки потенциальности необходим другой критерий.

ЛЕКЦИЯ 2. 09.09.2019

Теорема 4. 1) Если поле  потенциально то симметрична производная матрица .

2) Если граница области D, в которой задано векторное поле, является односвязным множеством, и симметрична производная матрица , то поле потенциально.