Доказательство. (ДОК 12).
Запишем 2 условия Коши-Римана. Одно продифференцируем по переменной , а второе по :
. Сложим теперь эти 2 равенства, но при этом смешанные производные 2 порядка от при этом совпадают, они вычитаются и дают 0. . Итак, . Теперь снова запишем условия Коши-Римана, 1-е дифференцируем по , а второе по .
. Теперь вычтем из 1-го равенства 2-е. , тогда .
ЛЕКЦИЯ 4. 23.09.2019 Пример. = . Здесь для не верно уравнение Лапласа: . Пример. = . Уравнение Лапласа для обеих частей функции: 1) , , в сумме 0. 2) , , 0+0=0.
Теорема 4. Условия Коши-Римана эквивалентны условию . Доказательство (ДОК 13). Вспомним, что можно выразить через таким образом: , . Сделаем это в функциях . = . Таким образом, функция стала выражена через два аргумента , а значит, можно искать частную производную по . Вспомним формулу полной производной (из 1 семестра) для случая композиции типа : . Найдём производные от по этим методом, причём здесь тоже промежуточные переменные . , . При этом такие компоненты как и можно найти из формул , , а именно : = , = . Таким образом, , . Тогда = = = = = . Выполнение условий Коши-Римана в данном случае как раз и эквивалентно тому, что в обеих скобках нули, то есть . □ Итак, как видим, наличие в составе функции приводит к недифференцируемости. Впрочем, то же верно и при наличии или , в составе которых есть элемент .
Алгоритм восстановления аналитической функции по её действительной или мнимой части. Поскольку действительная и мнимая части взаимосвязаны условиями Коши-Римана, то достаточно одной её части, чтобы восстановить вторую часть, и далее всю функцию . Например, нам известна . Тогда = , это криволинейный интеграл 2 рода для векторного поля от фиксированной точки, например (0,0) до произвольной . Нам неизвестны эти частные производные, как и сама функция , однако их можно заменить на известные, по условиям Коши-Римана. = и далее вычислить.
Итак, алгоритм: 1. Проверить выполнение уравнения Лапласа (иначе или не может быть частью какой-то единой комплексной функции). 2. Вычислить криволинейный интеграл. 3. В полученной функции выразить по формулам: , . При правильном вычислении сократятся все и останется только . Пример. Дано . Узнать мнимую часть и восстановить вид функции . Сначала проверяем уравнение Лапласа. , , сумма 2-й производных равна 0, то есть является одной из компонент комплексной функции. = = , где . Итак, найдём криволинейный интеграл . Сделаем это с помощью интегрирования по ломаной, как при вычислении потенциала поля. = = . Далее, в выражение подставим , . = = = = = . Итак, .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (198)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |