Доказательство (ДОК 4).
1) Необходимость. Пусть поле потенциально. Тогда являются производными от какой-то общей функции , т.е. , . тогда , . Но смешанные частные производные 2-го порядка совпадают, значит, = . а следовательно, = . 2) Достаточность. Здесь мы будем использовать формулу Грина, которую доказали ранее, а там фактически неявно это и предполагали при записи двойного интеграла, когда для рассматривался отрезок , то есть такая ситуация, как для кольца, не рассматривается, а только множества без внутренних пустот. Если производная матрица симметрична, то (в других обозначениях = ). Тогда , и двойной интеграл по любой плоской области равен 0: . Но ведь тогда для любого замкнутого контура получается, что по формуле Грина, если двойной интеграл по его внутренней области 0, то и циркуляция по границе тоже 0: = 0, а если для любого контура циркуляция 0, то поле потенциально, что следует из теорем 1 и 2, доказанных ранее. В 3-мерном случае требуется совпадение трёх пар производных, доказательство показано пока для 2-мерного случая, чтобы использовать формулу Грина.
Алгоритм нахождения потенциала. 1. Выяснить потенциальность поля, проверив симметричность производной матрицы (она сотоит из всех частных производных: от всех компонент векторного поля по всем переменным). 2. Найти потенциал, как скалярную функцию, равную криволинейному интегралу от фиксированной точки до произвольной. Как правило, в качестве «начальной» фиксированной точки рассматривают начало координат, если же в функциях присутствуют к примеру или , то можно взять в качестве начальной точку (1,1) а не (0,0). Путь от начальной точки до может быть по любой кривой, но практически лучше по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Сначала от (0,0) к (x,0) а затем 2-е звено до точки (x,y). Пример. Доказать, что поле потенциально и найти потенциал. Решение. Шаг 1. Сначала найдём производную матрицу, вычислив все частные производные по всем переменным: = . Мы видим, что она симметрична. Значит, поле потенциально. Шаг 2. Найдём криволинейный интеграл от (0,0) до , соединив с помощью ломаной. Лучше всего даже обозначить конечную точку , чтобы не путать обозначение переменной, по которой ведётся интегрирование, и верхнего предела. Вычислив , затем мы учтём тот факт, что эта точка была произвольной, и сможем записать уже просто . разбивается на сумму двух интегралов, по каждому участку ломаной, причём на каждом из них обнуляется один из двух дифференциалов: на горизонтальном отрезке меняется только , а тогда , на вертикальном меняется , тогда . = в обоих интегралах формально присутствуют оба слагаемых, но одно из них обнуляется, поэтому выглядит далее так, как будто распределилось по одному слагаемому в каждый интеграл. в первом фиксировано , а на втором участке переменная уже достигла и далее не меняется, поэтому там . Для данного конкретного примера получается = = = . Итак, , тогда можно сказать, что . Проверка. , .
Глава 2.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (185)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |