Математические модели систем управления в комплексной области
Преобразование Фурье Абсолютно интегрируемые непрерывные функции f ( t ), т.е. функции, удовлетворяющие условию (1), можно представить в виде интеграла Фурье:
(2) (3)
Это преобразование Фурье или комплексный спектр функции оригинала f ( t ). Существуют функции, для которых не выполняется неравенство (1), например: [1( t )], e -α t, e α t, sin α t при α>0, tn при n =1, 2, 3, … и др. Для них используют преобразование Лапласа, являющееся обобщением преобразования Фурье. Преобразование Лапласа непрерывных функций Рассмотрим f 1 ( t )= f ( t ) e - ct, c = const такая, что:
(4)
При этом для существования этого интеграла от функции f(t) пришлось потребовать выполнения условия f ( t )=0 t <0. c > c 0 (c 0 — абсцисса абсолютной сходимости). Для [1( t )] с0=0 Для e -α t с0=α Для e α t с0=-α Для sin α t с0=0 Тогда получим (5) Это интеграл Лапласа или формула обращения в преобразовании Лапласа.
(6) f ( t ) F ( s )
Нули и полюсы изображения F ( s ) F ( s ) — дробно рациональная функция. Корни полиномов R ( s ) и Q ( s ) определяют свойства изображения или свойства этой функции.
Нули изображения F ( s ) Представим F ( s ) в следующем виде: , а , значит F ( s ) имеет ноль кратности m в точке .
Полюса изображения F ( s ) Полюса изображения F ( s ) — это корни полинома знаменателя Q ( s ).
, где ,
а , т.е. изображение F ( s ) содержит полюс кратности n при . На комплексной плоскости s нули обозначают “0”, а полюса “Х”. Дискретное преобразование Лапласа Данное преобразование применяется для решетчатых функций.
(7) (7΄)
Z -преобразование Введём новую комплексную переменную z = est, тогда (7) можно представить в следующем виде: ≜ (8)!!!! s=c+j∞
Выбрав c> c 0 ряд (8) будет сходиться, и решетчатой функции будет соответствовать Z-преобразование. f [ i ] F ( z ). Z-преобразование применяют и к непрерывным функциям. При этом, если для РФ f [ i ] прямая и обратная задачи однозначны, то для непрерывной функции задача определения оригинала f [ i ] по его изображению не однозначна.
Основные свойства преобразования Лапласа и Z -преобразования
Лекция №7. 04.03.2003
8. Задача определения оригинала функции по её изображению: а) Непрерывные функции Смотри формулу (5) из пункта № 4.1.2.2. б) Дискретные математические модели (для решетчатых функций) Так как F ( z ) дробно рациональная функция, то проще эту задачу решать так: разделив числитель на знаменатель, F ( z ) можно разложить в ряд Лорана по убывающим степеням, т.е. Известно, что ≜ f 0, f 1, f 2, … — дискреты искомой решетчатой функции f [ iT ].
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (200)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |