Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем
Пусть известна математическая модель системы, описывающая свободное движение системы в виде однородного дифференциального уравнения:
(1)
или разностного уравнения
(1΄) и пусть x — это отклонение интересующей нас переменной от её значения в равновесном режиме. Тогда система будет устойчива, если выполняется условие (2)
или (2΄)
При каких условиях выполняется равенство (2)? Уравнениям (1) и (1΄) соответствуют характеристические уравнения:
… (3) … (3΄)
Если корни si уравнения (3) различны, то решение уравнения (1) может быть записано следующим образом . В общем случае корни являются комплексными si =α i + j β i.
1) Если α k >0 A →∞ система не устойчива. 2) Если α k <0 A →0 система устойчива. 3) Если α k =0 A = ck = const система нейтрально устойчива. Следовательно, для устойчивости линейной непрерывной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, то есть располагались в левой полуплоскости плоскости S. Можно показать, что для устойчивости дискретной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3΄) zi были: | zi |<1 … (!!) Лекция №8. 05.03.2003
Решение уравнения состояния
(5)
Пусть при t = t 0 X ( t 0 )= X 0 (начальные условия). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (5) при известных начальных условиях может быть получено в следующем виде:
(6)
где M ( t ) — фундаментальная или переходная матрица. Решение уравнения (5) можно записать и в виде ряда Тейлора:
(7)
Производные в формуле (7) можно определить из уравнения (5):
т.е. (8) Здесь (9) е At — МАТРИЦИАНТ.
Можно сказать, что решение неоднородного уравнения состояния имеет вид:
(10)
Дискретные математические модели многомерной системы Рассмотрим многомерный импульсный фильтр:
1 — непрерывная часть системы; 4 — формирователи. В случае экстраполятора нулевого порядка (Э0П) управляющие сигналы yp ( t ), действующие на непрерывную часть системы, будут кусочно-постоянными, т.е. yp ( t )= yp [ iT ], iT ≤ t ≤ ( i +1) T в скалярной форме или Y ( t )= Y [ iT ] при iT ≤ t ≤ ( i +1) T в векторной. Рассмотрим уравнение (10) при следующих условиях: 1) t 0 = iT — начальные условия. 2) ( iT , t ) — интервал интегрирования.
В частности, при t =( i +1) T:
Таким образом:
(11)
Это уравнение состояния многомерной дискретной системы. Здесь:
(12) е AT — МАТРИЦИАНТ. (13) (14)
В развёрнутой форме уравнение состояния примет вид:
(III) Пример 4. Определить уравнение состояния многомерной импульсной системы с Э0П. Математическая модель непрерывной части известна:
1. Составим уравнение состояния непрерывной части системы: , , тогда
2. 3.
4. 5. 6. Запишем уравнение состояния:
(III΄)
Лекция №9. 11.03.2003
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (285)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |