Пересечение поверхностей

Для решения задач по определению линии пересечения двух поверхностей в качестве вспомогательных поверхностей-посредников следует выбирать поверхности, которые пересекали бы заданные по графически простым линиям – прямым или окружностям.

Поэтому в качестве поверхностей-посредников используют плоскости или сферы.

Алгоритм решения задачи при помощи секущих плоскостей: (рис. 7.2.2)

 

Рис. 7.2.2

1. Две заданные поверхности Г и Σ рассечем некоторой вспомогательной секущей поверхностью Ф таким образом, чтобы она рассекала их по графически простым линиям (окружностям).

2. Находим пересечение секущей плоскости Ф и поверхностей Г и Σ.

Ф ∩ Г = m; Ф ∩ Σ = n.

3. Находим точки пересечения полученных линий пересечения m и n.

m ∩ n = А, А’.

Эти точки пересечения принадлежат одновременно обеим поверхностям, а, следовательно, линии их пересечения.

4. Повторяя эту операцию многократно, определим достаточное число точек, последовательно соединив которые получим линию пересечения поверхностей.

5. Определяем видимость поверхностей относительно друг друга.

Пример 1. Построить линию пересечения поверхностей вращения. Дано: Ψ – тор, Ω – сфера (рис.7.2.3)

 

Рис. 7.2.3

1.Нахождение линии пересечения находим с определения опорных или характерных точек, для чего сначала вводим вспомогательную секущую плоскость через плоскость симметрии фигур на поле П₁. Т₁// П₂. Она рассекает поверхности по фронтальным очерковым образующим, которые пересекаясь между собой дадут точки 1(1₂) и 7 (7₂).

2.Определяем точки видимости для поля П₁для чего вводим вспомогательную секущую плоскость через плоскость симметрии сферы на поле П₂, т.е. через экватор. В итоге получим точки 4 (4₁) которые определят видимость линии пересечения поверхностей на поле П₁ и соответственно видимость поверхностей.

3.Все остальные плоскости выбираются параллельно плоскости П₁ между точками 1 и 7. Все они пересекают поверхности по окружностям определенных радиусов.

Г ∩ Ψ – окружность радиуса R₁;

Г ∩ Ω – окружность радиуса R₂.

Их пересечение дает точки 2.

Остальные точки 3,4,5,6 ищут аналогично.

 

Пример 2. Построить линию пересечения тора и сферы. Дано Ф – тор-лимон; Δ – сфера. Ф ∩ Δ =?

Оси поверхностей вращения расположены в одной плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций П₂. Линия пересечения имеет плоскость симметрии и на фронтальной плоскости проекций ее видимая часть совпадает с невидимой.

1.Вводим вспомогательную секущую плоскость параллельную плоскости П₂ через плоскость симметрии фигур для определения экстремальных точек и одновременно точек видимости на фронтальной плоскости проекций.

Г ∩ Ф = m (m₁; m₂);

Г ∩ Δ = f (f₁; f₂).

2.Находим точки пересечения полученных линий m (очерковая образующая тора) и f (главный меридиан сферы).

m ∩ f = А (А₂ →А₁); В (В₂ →В₁).

Точка А является высшей точкой кривой, точка В – низшей (рис.7.2.4, а).

Повторяем алгоритм еще раз:

1.Вводим вспомогательную секущую плоскость на фронтальной плоскости проекций через экватор сферы (рис. 7.2.4, б).

Σ∩Ф=а(а₂→а₁);  Σ ∩ Δ = h (h₂ →h₁).                                                                         

2.Находим точки пересечения полученных линий пересечения, а (окружность на поверхности тора) и h (экватор сферы).

а ∩ h = С (С₁ →С₂); D (D₁ →D₂). Точки С и D являются точками видимости кривой на поле П₁.

Рис. 7.2.4, а)

 

 

Рис

Рис. 7.2.4, б)

 

Все остальные точки являются промежуточными (случайными) и находятся с помощью вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей уровня Θ и λ, проведенных в интервале между точками А и В.

Вспомогательная плоскость Θ рассекает тор по окружности b (b₁, b₂), а сферу по окружности с (с₁, с₂). Их пересечение определит точки 1 и 2 (1₁; 2₁) –промежуточные точки, фронтальные проекции которых находим по линии связи на проекциях окружностей b и с (b₂; с₂).

 

Аналогично определяем другие точки линии пересечения (плоскость λ, точки 3 и 4).

Определяем видимость линии пересечения. На фронтальной плоскости проекций видимая часть линии совпадает с невидимой. На горизонтальной плоскости проекций видна кривая от точек видимости С и D через точку А (рис. 7.2.4, в).

Рис. 7.2.4, в)

 

Лекция 8

Тени в ортогональных проекциях. Общие сведения. Положение источника света и направление световых лучей. Построение теней геометрических образов на плоскости проекций. Определение собственных теней. Тень от точки. Тени от линий общего и частного положения. Тени от плоскостей и поверхностей.

Общие сведения

В процессе архитектурного проектирования троят тени на плане и фасаде зданий для выявления их освещенности, для выявления рельефа будущего сооружения, для правильной оценки пропорций и глубин отдельных его элементов и для обнаружения в проекте композиционных ошибок.

Источником света при построении теней могут быть солнце, луна, лампа, фонарь и т.д.

Из-за большой удаленности солнца и луны от земли их принято считать бесконечно удаленными светящимися точками, а лучи, исходящие от них – параллельными друг другу. Освещение, исходящее от них, называется солнечным.

Освещение называется факельным, если источник света удален от объекта на незначительное расстояние. Лучи при этом образуют связку прямых.

Чаще всего построение теней осуществляется при параллельных световых лучах.

Введем следующие дополнительные обозначения:

L – источник света, l – световой луч.

Падающие тени точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и в натуре, с добавлением подстрочного индекса t и индекса 1, 2, 3, соответствующего плоскости проекций, на которой они построены.

П₁ → А_1t, b_1t

П₂→ А_2t, b_2t

Другие определения поясним следующим образом.

Пусть непрозрачная поверхность Ф (рис.8.1.1) освещается бесконечно удаленным источником света L. Световые луч параллельны.

 

Рис. 8.1.1

Часть поверхности, обращенная в сторону источника света, освещена световыми лучами, которые, отражаясь от нее, изменяют свое направление. Часть поверхности, обращенная в противоположную сторону от источника света, находится в тени и называется собственной тенью поверхности.

Граница между освещенной частью поверхности и частью, находящейся в собственной тени, называется контуром собственной тени.

Световые лучи, не задержанные поверхность. Ф, освещают плоскость П. Лучи, задержанные и отраженные поверхностью Ф, не достигают плоскости П и на ней образуется неосвещенная часть. Эта неосвещенная часть и есть тень, отбрасываемая поверхностью Ф на плоскость П, которая называется падающей.

Граница между освещенной частью поверхности и частью, находящейся в падающей тени, называется контуром падающей тени.

Освещенная часть поверхности состоит из множества освещенных точек. Каждая точка задерживает один световой луч и отражает его, поэтому луч не достигнет другой поверхности.

Если продолжить луч, задержанный точкой А, принадлежащей поверхности Ф до пересечения с плоскостью П, то получим точку А_t, которая является тенью от точки А.

Тенью, падающей от точки на поверхность, является точка пересечения светового луча, проходящего через эту точку.

А_t = l ∩ П, К_t= l ∩ П, М_t= l ∩ П.

Возьмем в пространстве линию mи построим от нее тень на плоскость П. Чтобы построить тень от линии на плоскость или поверхность, необходимо построить тени множества смежных точек этой линии (если она кривая). Световые лучи, проходящие через эти точки, образуют лучевую поверхность Θ.

Тенью, падающей от линии на поверхность, является линия пересечения поверхности с лучевой поверхностью, проходящей через эту линию.

m_t= Θ ∩ П.

Если линия прямая, то лучевая поверхность будет плоскостью.

Если линия ломаная, то лучевая поверхность будет призматической.

Если линия кривая, то лучевая поверхность будет цилиндрической.

Чтобы построить падающую тень от поверхности на поверхность, достаточно построить контур падающей тени. Контур падающей тени получается при пересечении лучевой поверхности, которая обвертывает заданную, с данной плоскостью а_t = Т ∩ П, где Т – обвертывающая лучевая поверхность.

Линия соприкосновения обвертывающей лучевой поверхности отделяет освещенную часть поверхности от собственной тени и является контуром собственной тени.

Следовательно, контур падающей тени является тенью от контура собственной тени.

Если точка или линия лежат на поверхности, то тени от них на эту поверхность совпадают с самой точкой или линией.

Из изложенного следует, что задачи на построение теней геометрических образов сводятся к решению основных позиционных задач:

1. Построение точки пересечения прямой с поверхностью (тень от точки на плоскость; от точки на поверхность).

2. Построение линии пересечения двух поверхностей. Из всего многообразия этих задач выделим следующие случаи пересечения:

а) двух плоскостей (тень от прямой на плоскость);

б) плоскость с гранной поверхностью (тень от прямой на гранную поверхность, тень от ломаной линии на плоскость);

в) плоскости с кривой поверхностью (тень от прямой на кривую поверхность, тень от кривой лини на плоскость);

г) гранной поверхности с кривой поверхностью (тень от ломаной линии на кривую поверхность, тень от кривой линии на гранную поверхность, тень гранной поверхности на кривую поверхность, тень от кривой поверхности на гранную поверхность);

д) двух кривых поверхностей (тень от кривой линии на кривую поверхность, тень от кривой поверхности на кривую поверхность).