Методы преобразования комплексного чертежа. Метод замены плоскостей проекций. Метрические задачи. Способы вращения.

Методы преобразования комплексного чертежа

В начертательной геометрии задачи решаются графически значительно проще в случае частного положения геометрической фигуры относительно плоскостей проекций.

Наиболее выгодным частным положением геометрической фигуры считают:

1. Положение перпендикулярное плоскости проекций (для решения позиционных и метрических задач);

2. Положение параллельное плоскости проекций (для решения метрических задач).

Переход от общего положения к частному можно осуществить за счет изменения взаимного положения геометрической фигуры и плоскости проекций. Это достигается двумя путями:

во-первых, перемещением фигуры в пространстве так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые остаются неподвижными (метод плоскопараллельного перемещения);

во-вторых, перемещением плоскости проекций в новое положение по отношению к которому геометрическая фигура окажется в частном положении (метод замены плоскостей проекций).

Метод замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций (П₁, П₂, П₃) заменяется новой (П₄, П₅ и т.д.), подходящим образом расположенной относительно проецируемой фигуры, но перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

Метод замены плоскостей проекций

Пусть задана система плоскостей проекций П₁ и П₂ (П₁/П₂). Спроецируем точку А на эти плоскости и найдем ее проекции А₁и А₂(рис. 9.2.1)

Рис. 9.2.1

Допустим, что при решении какой-либо задачи необходимо заменить плоскость П₂ другой плоскостью П₄, перпендикулярной к плоскости П₁ и подходящим образом расположенной к геометрическому элементу (в нашем случае к точке А). Новая плоскость проекций П₄ пересекается с плоскостью П₁ по новой оси Х_{1 4}. Построим проекции точки на все плоскости проекций.

Чтобы перейти от пространственного макета к эпюру необходимо совместить плоскость П₄ с плоскостью чертежа. За ось вращения принимается новая ось проекциХ_{1 4}. Поворот следует делать так, чтобы новые проекции не накладывались на старые (рис. 9.2.2).

Рис. 9.2.2

Для построения на комплексном чертеже новой проекции точки необходимо:

1. В зависимости от условия задачи выбрать новую плоскость проекций;

2. Зафиксировать старую ось проекций (при ее отсутствии);

3. Построить новую ось проекций;

4. Провести от проекции точки линию связи перпендикулярную новой оси.

5. Измерить расстояние от старой оси до заменяемой проекции точки и отложить это расстояние от новой оси.

Метрические задачи

Метрические задачи – это задачи, условием которых ставится измерение различных элементов: длин отрезков, величин углов, натуральных величин геометрических фигур.

Они подразделяются на три группы:

1. Задачи линейные – задачи на измерение расстояний, между точкой и прямой, между двумя прямыми, точкой и плоскостью и т.д.

2. Задачи угловые – определяются углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, двумя плоскостями.

3. Задачи на определение натуральных величин геометрических элементов.

Пример 1. Задачи 3 группы. Определить натуральную величину отрезка методом замены плоскостей проекций и угол его наклона к плоскости П₁ (рис. 9.3.1).

Для решения задачи необходимо расположить новую плоскость проекций параллельно заданному отрезку, тогда на нее отрезок проецируется в натуральную величину. Угол φ – угол наклона отрезка к плоскости П₁.

Рис. 9.3.1

Кроме того, натуральную величину отрезка можно определить методом прямоугольного треугольника.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике есть натуральная величина отрезка, если один катет этого треугольника является проекцией отрезка на какую-либо плоскость проекций, а второй катет равен разности расстояний концов отрезка (разности высот) (рис. 9.3.2, 9.3.3)

Пример 2. Определить натуральную величину отрезка методом прямоугольного треугольника (рис. 9.3.3).

Рис. 9.3.2

Рис. 9.3.3

Пример 3. Определить натуральную величину плоскости, заданной треугольником АВС методом замены плоскостей проекций.

Для решения этой задачи сначала необходимо преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 9.3.4). Для чего проводим в плоскости треугольника линию уровня и располагаем новое поле таким образом, чтобы оно было перпендикулярно линии уровня.

Для того, чтобы получить натуральную величину плоскости, полученную проецирующую плоскость нужно преобразовать второй заменой плоскостей проекций в плоскость уровня и, следовательно, найти натуральную величину.

Рис. 9.3.4

Задачи 1 группы:

1. Расстояние от точки до прямой равно перпендикуляру, опущенному из точки на прямую (рис. 9.3.5).

Рис. 9.3.5

2. Расстояние между параллельными прямыми равно перпендикуляру, опущенному из точки, принадлежащей одной прямой на другую (рис. 9.3.6).

Рис. 9.3.6

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется величиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат эти прямые (рис. 9.3.7).

Рис. 9.3.7

4. Расстояние от точки до плоскости – есть величина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость (рис. 9.3.8)

Плоскость, заданную треугольником АВС преобразуем в проецирующую, для чего построим в плоскости горизонталь h (h₁, h₂). Перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали введем новое поле П₁/П₄ и строим в новой плоскости треугольник, который становится перпендикулярным П₄. Переносим в новое поле и точку. Восстанавливаем перпендикуляр от точки к плоскости, расстояние М₄К₄ и есть натуральная величина расстояния от точки до плоскости. Возвращаем проекции перпендикуляра на плоскости П₁ и П₂.

Рис. 9.3.8

Способы вращения