Биномиальное распределение.

На практике оно возникает при следующих условиях. Проводится   независимых испытаний. В каждом из опытов, событие А может появиться с вероятностью p и не появится с вероятностью . 

Вероятность того что событие  появиться ровно  раз в серии из  опытов вычисляют по формуле Бернулли

, где ;      

m = 0,1, 2,… n                                                                           (9)

Такое распределение называют биномиальным. Биномиальное распределение  имеет вид, представленный в таблице 4:

Таблица 4 – Закон распределения вероятностей в случае 1.2.2

Х	0	1	2	…	m	…	n
P

           Доказано, что для биномиального распределения

                  ; ; .          (10)

Обратимся к примеру 1. Поскольку вероятность  появления каждого значения случайной величины Х определяется по формуле Бернулли, то имеет место биномиальное распределение. Тогда математическое ожидание и дисперсию можно вычислить по формулам (10):

М(Х) = 2 · 0,89 = 1,78;    D(X) = 2 · 0,89 · 0,11 = 0,1958.

Результаты вычисления по формулам (4), (6), и (7) совпадают с результатами вычисления по формулам (10). Поэтому в данном распределении для вычисления выбираем более простые формулы (10).

Распределение Пуассона.

При больших значениях  и малых значениях р (пишут: ; ) вычисление по формуле Бернулли становится весьма затруднительным и тогда применяют приближенную формулу Пуассона

,   где a = n p;        m = 0,1, 2 …n,… (11)

      Это распределение зависит только от одного параметра , что является преимуществом закона Пуассона. Распределение Пуассона представлено в таблице 5.

Таблица 5 – Закон распределения вероятностей в случае 1.2.3

Х	0	1	2	…	m	…
Р				…		…

       Применение формулы Пуассона оправдано, если , иначе она дает большую погрешность.

Пример 2

В банк было доставлено 2000 пакетов с денежными знаками. Вероятность несовпадения наличной денежной массы с документальной по каждому пакету равна 0,001. Составить закон распределения случайной величины Х - числа пакетов с денежной наличностью, несоответствующей документам и построить многоугольник распределения и функцию F(x) (ограничившись 5-тью случаями). Найти  M(x),  D(x),   (x).

Решение

Возможно, что несовпадение не обнаружится вовсе или обнаружится в одном пакете, двух, трёх и т.д. Поскольку п - велико, а р - мало, то вероятности этих значений посчитаем по формуле Пуассона. Пусть значения m изменяются от 0 до 5. Найдем параметр а. Он будет равен:

Распределение в  случае представлено в таблице 5а.

Таблица 5а – Закон распределения вероятностей в примере 2.

Х	0	1	2	3	4	5
Р		=0,27	=0,27	=0,18	=0,09	=0,036

На рисунке 3 изображен многоугольник распределения в случае .

Рисунок 3 – Многоугольник распределения вероятностей в примере 2

Очевидно, что значения функции F(х) будут на каждом последующем шаге вычисления приближаться к единице, достигая её лишь в пределе при .

В пуассоновском распределении        М (Х)= D(Х)=а=пр.        (12)

В этом примере   М (Х)= D(Х)=2.