Основные законы распределения дискретной случайной величины

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Методические указания и задания

для модульного контроля и практических занятий

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов экономических спеціальностей

дневной формы обучения

 

 

Севастополь

2010

УДК 519.24

 

Теория вероятностей. Случайные величины. Методические указания и задания для модульного контроля и практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» / Разраб. Л.Т. Потепалова.- Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2010. – 60 с.

 

Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей дневной формы обучения. Пособие содержит 30 вариантов заданий, охватывающих такие разделы дисциплины как случайные величины, основные законы их распределения и двумерные случайные величины. В методических указаниях приведены подробные решения типовых задач и теоретические сведения, приведен список учебной литературы, необходимой для углубленного изучения предмета.

Методические указания могут быть использованы студентами других специальностей и форм обучения.

Варианты заданий могут быть использованы как для модульного контроля, так и для практических занятий.

 

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры высшей математики, протокол № 2

от 28 сентября 2010 г.

 

Рецензент: Ледяев С.Ф., доцент кафедры высшей математики, кандидат технических наук

       

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1 ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ………………………...4

1.1 Основные понятия и вероятностные характеристики……………4

1.2 Основные законы распределения дискретной случайной величины…………………………………………………………………..9

1.2.1 Равномерное распределение…………………………………...9

1.2.2 Биномиальное распределение………………………………….9

1.2.3 Распределение Пуассона……………………………………...10

1.2.4 Геометрическое распределение………………………………13

1.2.5 Урезанное геометрическое распределение…………………..14

1.2.6 Гипергеометрическое распределение………………………..15

2 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ……………………..16

2.1 Основные понятия и вероятностные характеристики…………..16

2.2 Равномерное распределение……….……………………...............21

2.3 Нормальное распределение……………………………….............24

2.4 Показательное распределение………………………….…………29

3 ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА……..…………………..31

3.1 Основные понятия и вероятностные характеристики…………..31

3.2 Коэффициент корреляции………………………………………...36

4 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ…………………………………...41

4.1 Дискретная случайная величина………………………….............41

4.2 Непрерывная случайная величина……………………………......45

4.3 Нормальное распределение……………………………….............49

4.4 Равномерное и показательное распределения…………………...50

4.5 Двумерная случайная величина…………………………………..51

Приложение А…………………………………………………………..56

Приложение Б…………………………………………………………..57

Приложение В…………………………………………………………..58

Библиографический список……………………………………………60

 

ТЕОРИЯ   ВЕРОЯТНОСТЕЙ
  СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное.

Случайные величины обозначают большими буквами: X, Y, Z и др.

Различают дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины.

 

 

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Основные понятия и вероятностные характеристики

Случайная величина X, принимающая конкретные числовые значения x i с вероятностью  называется дискретной случайной величиной.

Законом распределения вероятностей называют последовательность (конечную или бесконечную) возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.

Простейшей формой задания закона распределения является таблица 1.

 

Таблица 1 – Закон распределения дискретной случайной величины

Возможные значения случайной величины X			…		…
Вероятности P,  соответствующие этим значениям	p1	p2	…	pi	…

 

Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения. Он дает наглядное приближенное представление о характере распределения случайной величины Х. Для его построения по оси ОХ откладывают значения случайной величины Х, а по оси ОУ соответствующие вероятности (рисунок 1).

Рисунок 1 – Многоугольник распределения вероятностей.

 

       Тот факт, что случайная величина Х в результате опыта обязательно примет одно из своих возможных значений  является достоверным событием, поэтому =1. Случайную величину Х можно задать и с помощью функции распределения.

       Функцией распределения случайной величины X называется функция F( x), выражающая вероятность того, что X примет значение меньшее, чем x:

                           (1)

Для дискретной случайной величины функция распределения может быть найдена по формуле:       

              .                                                (2)

Вероятность того, что случайная величина X принимает значение в заданном числовом промежутке (а, b) определяется равенством:

.                 (3)

   Характеристикой среднего значения случайной величины Х, около которого группируются все её возможные значения ,является математическое ожидание. Его обозначают М(X) или m_х. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X или её средним значением называется сумма произведений её возможных значений на соответствующие им вероятности:

.                            (4)

Характеристикой рассеяния возможных значений случайных величин вокруг математического ожидания служит дисперсия. Дисперсией дискретной случайной величины Х  называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:                          .                    (5)

Дисперсия определяется равенством:

.           (6)

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не позволяет указать её на оси случайной величины, поэтому в качестве показателя рассеяния используют так же величину , размерность которой аналогична размерности случайной величины Х. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:

                                   (7)

Все свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для дискретных случайных величин переносятся и на случай непрерывных случайных величин.

Пример 1.

 Оптовая база закупает компьютеры в равных количествах у трех производителей. Вероятность того, что компьютеры отличного качества для каждой фирмы соответственно равна 0,84; 0,9; 0,93. Составить закон распределения количества компьютеров отличного качества среди купленных двух. Построить многоугольник распределения такой случайной величины Х.

Решение

Вероятность покупки компьютера отличного качества определим по формуле полной вероятности:  

р = 0,84 ·  + 0,9 ·  + 0,93 ·  = 0,89.

Среди купленных двух (n = 2) могут быть два отличного качества или один, или ни одного. Это значения случайной величины Х. Вероятности просчитаем по формуле Бернулли.

.

Р₂(0) = С · 0,89 · 0,11² = 0,0121; P₂(1) = C · 0,89 · 0,11 = 0,1958;

P₂(2) = C · 0,89² · 0,11⁰ = 0,7921.

Проверим правильность составления закона распределения. Сумма этих вероятностей должна быть равной единице.

.

Тогда ряд и многоугольник распределения будут иметь вид, представленный таблицей 2 и рисунком 2 соответственно.

 

Таблица 2 – Закон распределения в примере 1

 

Х
Р	0,0121	0,1958	0,7921

 

                    

Рисунок 2 – Многоугольник распределения вероятностей в примере 1

Построим функцию распределения для данной случайной величины:

F(x) =

Построим график функции распределения. Он будет иметь  вид, представленный на рисунке 2а.

Рисунок 2а – Функция распределения в примере 1.

      Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины имеет разрывы с конечным скачком (величиной равной вероятности p_i ) в точках, где случайная величина принимает свои значения x_i .

Найдем числовые характеристики рассматриваемой случайной величины: М(Х), D(Х), s (Х).

             М(Х) = 0·0,0121 + 1·0,1958 + 2·0,7921 = 0,1958 + 1,5842 = 1,78.

 

D(Х) = 0²·0,0121 + 1²·0,1958 + 2²·0,7921 – 1,78² = 0,1958 + 3,1684 – 3,1684 = 0,1958.

                                    s(Х) = 0,44.

Основные законы распределения дискретной случайной величины

       1.2.1 Равномерное распределение.

       Равномерное распределение имеет дискретная случайная величина Х если:

,        m =1, 2, … n.        (8)

Распределение вероятностей имеет вид, представленный в таблице 3.

 

Таблица 3 – Закон распределения вероятностей в случае 1.2.1

Х			…
Р			…