Коэ ффициент корреляции
Связь между величинами Х и Y характеризуется корреляционным моментом. Если он равен нулю, то X и Y - независимы, иначе – зависимы. Определение. Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: (52) (53) Определение. Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: (54) Теорема: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы. (55) Коэффициент корреляции характеризует степень зависимости, причём не любой зависимости, а только линейной. Если , то причем и . Чем ближе к нулю, тем сильнее отклоняется зависимость между составляющими от линейной зависимости. Для непрерывных величин X и Y корреляционный момент может быть найден по формуле: (56) Коррелированными называются две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля. Некоррелированными называются две случайные величины, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Обратное не всегда верно. Положительная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин, другая, в среднем, имеет тенденцию возрастать. Отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин, другая, в среднем, имеет тенденцию убывать. Если (X, Y) – двумерная случайная величина, где X и Y зависимы, то возможно приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины X (или X в виде линейной величины Y).
где а и b, с и d – параметры, обычно определяемые по методу наименьших квадратов. Линейной средней квадратической регрессией Y на X и X на Y называются функции вида: (57) (58) Поскольку эти зависимости являются приближенными, то существует погрешность этого приближения, называемая остаточной дисперсией (59) Пример 14 Найти корреляционный момент и коэффициент корреляции случайных величин X и Y по распределению системы (X, Y), заданной таблицей 17. Найти Yx и Xy, изобразить их графически, а так же найти и .
Таблица 17 – Закон распределения системы (X, Y) к примеру 14.
Составим безусловные законы распределения по формулам (38).
Таблица 18– Безусловное распределение составляющей X к примеру 14.
Для определения коэффициента корреляции найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения составляющих системы (Х, У). Для этого применяем формулы (48) и (50). ; . ; .
Таблица 19 – Безусловное распределение составляющей Y к примеру 14.
; .
Тогда произведение будет равно: ; ; .
Применяя формулы (53) и (54) найдем и . .
Составим уравнения линейных средних квадратических регрессий, применяя формулы (57) и (58).
. ; .
- центр совместного распределения. Расчет координат: . ; ; тогда .
Рисунок 15 – График уравнений регрессии и к примеру 14.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (301)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |