ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
3.1 Основные понятия и вероятностные характеристики При решении практических задач часто приходится сталкиваться с задачами, в которых опыт описывается не одной случайной величиной, а несколькими. Совокупность двух случайных величин, рассматриваемых совместно, называется двумерной случайной величиной и обозначается ( X, Y). Случайные величины X, Y называются составляющими этой системы. Если составляющие являются дискретными случайными величинами, то двумерная случайная величина называется дискретной. Если составляющие - непрерывные величины, то и двумерная случайная величина является непрерывной. Система двух непрерывных случайных величин (X, Y) геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (x, y) на плоскости Х OY. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины ( X, Y) задаётся в виде таблицы 11, в строках которой указаны возможные значения случайной величины X , а в столбцах – возможные значения случайной величины Y. На пересечении строк и столбцов указываются соответствующие вероятности , где индексы i и j изменяются соответственно: i=1,..., n; j=1,…,m. Таблица 11 – Закон распределения системы (X, Y)
Для нахождения вероятности нужно просуммировать все m вероятностей по столбцу k. Аналогично, сложив все n вероятностей по строке k, получим вероятность Законы распределения дискретных составляющих определяются равенствами: (38) Законы вида (38) называют безусловными законам распределения составляющих X, Y. События образуют полную группу, следовательно, сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице. . (39) Определение. Условным законом распределения одной из составляющих, входящих в систему (X, Y), называют её закон распределения, найденный при условии, что другая составляющая случайная величина приняла определённое значение (или попала в какой-то интервал). Условные законы распределения для дискретных составляющих X и Y определяются равенствами (40) Функцией распределения F( x, y) системы двух случайных величин ( X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X < x, Y < y. F( x, y) = P( X < x, Y< y). (41) Для непрерывной двумерной случайной величины, так же как и для непрерывной одномерной, вводится понятие плотности распределения вероятностей. Плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин ( X, Y) называется вторая смешанная производная от функции распределения: (42) При этом справедливы следующие равенства: ; (43) Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, выражаются через плотность распределения системы формулами: . (44) Условной плотностью распределения составляющей Х при заданном значении Y= y называется отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y: (45) Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y: (46) Случайные величины X и Y называются независимыми, если условные плотности распределения величин X и Y равны их безусловным плотностям: (47)
Математическим ожиданием дискретной двумерной случайной величины (X, Y) называется совокупность двух математических ожиданий MX и MY, определяемых равенствами: ; (48) Для непрерывной двумерной случайной величины (Х, Y) эти равенства имеют вид: ; . (49)
Дисперсией системы (X, Y) называют совокупность двух дисперсий DX, DY, определяемых равенством (50) для дискретной системы и равенством (51) для непрерывной двумерной случайной величины. ; (50) ; (51) Дисперсии характеризуют разброс случайной точки (X, Y) в направлении осей ОХ и ОУ вокруг точки ( ), являющейся центром рассеяния системы на координатной плоскости ХОУ.
Пример 13 Закон распределения двумерной случайной величины Х задан таблицей 12. Таблица 12– Закон распределения для примера 13.
Для данной двумерной случайной величины требуется найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения случайной величины Х в предположении, что Y= = 0,4; в) условный закон распределения случайной величины Y в предположении, что X= = 5. Решение а) Безусловные законы распределения составляющих Х и Y найдем согласно формулам (38): ; ; ; . . б) Условные законы распределения составляющих X и Y найдем по формулам (40):
Таблица 15 – Условный закон Таблица 16 – Условный закон распределения составляющей X. распределения составляющей Y.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1009)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |