Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Теоретический материал для подготовки к самостоятельной работе Раздел 1 Теория чисел Комплексные числа. Основные понятия и определения. Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнение разрешимым - одна из главных причин расширения понятия числа.Рациональные и иррациональные числа образуют множество R действительных чисел. Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить уравнение. Корень уравнения или называется мнимой единицей и обозначается буквой i. Таким образом, символ iудовлетворяет условию Комплексным числом называется число видаa+bi, где aи b – действительные числа, а i- мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, а число bi – мнимой частью. Запись комплексного числа в виде z= a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Два комплексных числа и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части. Понятия«больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются. Комплексные числа a+bi и a-biназываются сопряжёнными, а комплексные числаa+bi и -a-bi называются противоположными комплексными числами. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число . Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число. Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению; деление комплексных чисел как операция, обратная умножению. При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое знаменателю Пример 1. Найти сумму и разность комплексных чисел и . Решение. Сумму находим сложением двучленов : Произведение находим перемножением двучленов с последующей заменой на -1. Пример 2. Даны комплексные числа и . Найти разность и частное . Решение. Разность находим формальным вычитанием двучленов и : Чтобы найти частное , умножим числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное знаменателю : Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексное число изображается на координаиной плоскости точкой или вектором , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой . Координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной ось, а ось ординат – мнимой осью. Модулем комплексного числа называется абсолютная величина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля числа используются обозначения , На основании теоремы Пифагора получается формула Например, комплексное число имеет модуль, равный 10, так как . Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу. Аргумент комплексного числа z= a+bi можно находить так: а) найти острый угол б) найти аргумент комплексного числа в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит вектор, соответствующий этому числу: в 1 четверти ; во 2 четверти ; в 3четверти ; в 4 четверти . Пример 3. Найдите аргумент комплексного числа . Решение. Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в 4 координатной четверти, поэтому аргументом числа является . Аргументы действительных и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно, исходя из их геометрической интерпретации, а, не используя приведенное выше правило. Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть дано комплексное число . Можно выразить действительные числа через модуль числа следующим образом: Таким образом, комплексное число можно записать в виде где модуль комплексного числа, a один из его аргументов. Представление комплексного числа в указанном виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, достаточно найти его модуль и аргумент. Аргумент комплексного числа можно находить из системы Пример 4. Записать число в тригонометрической форме. Решение. Находим модуль . Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в 3 координатной четверти. Аргументом является Следовательно Что бы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к алгебраической, достаточно найти действительные числа Пример 5. Записать число в алгебраической форме. Решение. Сначала найдем и : Следовательно, Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Если и , то Если то где – арифметический корень, Пример 6. Даны комплексные числа Найти их произведение и частное. Ответ записать в алгебраической форме. Решение. Применим правила умножения и деления комплексных чисел Пример 7.Вычислить . Решение. Находим z Пример 8. Вычислить . Решение. Запишем число в тригонометрической форме. Находим Тогда Пример 9. Вычислить Ответ записать в тригонометрической и алгебраической формах. Решение. Запишем число -81 в тригонометрической форме: . Следовательно, При Показательная форма комплексного числа. Рассматривая функцию для комплексного переменного, Эйлер установил соотношение которое называется формулой Эйлера. Из этой формулы следует, что каждое комплексное число можно записать в форме которая называется показательной формой записи. Над комплексными числами, заданными в показательной форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня: Пример 10. Представить число в алгебраической форме. Решение. По условию, откуда Значит, Решение. Сначала выполним действия: Теперь запишем число в тригонометрической и показательной формах, для чего найдем модуль и аргумент: Тогда .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (485)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |