Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение ,

где - заданная функция, а и - числовые (постоянные) коэффициенты называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение принимает вид:

.

называется однородным линейным, дифференциальным уравнением второго порядка.

Общее решение уравнения имеет вид:

,

где и - линейно независимые функции, удовлетворяющие уравнению, (т.е. являющиеся решениями этого уравнения) а и - произвольные постоянные.

     Частное решение уравнения будем искать в виде функции

.

где - действительное или комплексное число, подлежащее определению

Имеем: .

Алгебраическое уравнение называется характеристическим уравнением однородного уравнения. Характеристическое уравнение дает возможность найти . Уравнение есть уравнение второй степени и потому имеет два корня. Обозначим их через и . Возможны три случая.

1)Корни  и действительные и различные( ). В этом случае получим два частных решения уравнения , , которые являются линейно независимыми. Общее решение уравнения: .

Пример 12.Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение: . Оно имеет два различных действительных корня и . Поэтому общее решение есть .

2) Корни  и действительные и равные ,то частное решение выразится функцией , . Заметим, что решения и  линейно независимы. Следовательно, общее решение  или

Пример 13.Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение: . Оно имеет два равных корня . Поэтому общее решение есть .

3) Корни и  – комплексные. То общее решение уравнения будет иметь вид .

Пример 14. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

. Оно имеет комплексные корни , , где , . Поэтому общее решение есть .

                                            Интегральное исчисление

Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ), если ( F ( x ))’=f ( x ).

Первообразная определена неоднозначно: если F ( x ) – первообразная для функции f ( x ), то F ( x )+ C – также первообразная для данной функции.

Множество всех первообразных для функции f ( x ) называется неопределенным интегралом и обозначается , где f ( x ) – подынтегральная функция, f ( x ) dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная (С = const),  - знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла:

1. , где с = const. 2. .

3. .

Таблица 1 (неопределенных интегралов)

1. 2. 3. n ≠ –1; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. 11. ; 12.  (|x|<a, a≠0); 13. (a≠0); 14. (|x|≠a, a≠0); 15. .

Найти неопределенный интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) . 

Решение: а) ,чтобы найти данный неопределенный интеграл, воспользуемся методом разложения, который заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 1 и 2.

= = =(св-во 2) =

=  = (св-во 1) = =(используем формулы 3 и 4 из таблицы 1)= = .

Ответ: = .

б) . Данный интеграл вычисляется методом замены переменной (линейная замена). Обозначим выражение в скобках через t: 3х – 1 = t, тогда d(3х – 1)=dt => 3d х = dt => .

 =  = = (по формуле 3 из таблицы 1 н.и.) = =  = = . Ответ: = .

в) . Здесь при вычислении интеграла используется также метод замены переменной (нелинейная замена). = = =  = =(используем формулу 4 из табл.1)=  = .

Ответ: = .

                        Определённый интеграл

Для вычисления определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница: , (где а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел, F(x) – первообразная для функции f(x)). Для нахождения первообразной F(x) используются те же методы, что и при вычислении неопределенных интегралов.

Решение.

а) = (формула 9 табл. 1) = = .

Ответ:  = .

б) Используем метод замены переменной: = =

= = (по формуле 3 табл.1 н.и.)= = = (т.к. ln1 = 0)= = . Ответ:  = .

Замечание: В отличие от метода замены для неопределенных интегралов, для определенных интегралов нет необходимости возвращаться к старой переменной интегрирования (х), если перейти к новым пределам интегрирования (в нашем примере старыми пределами были а = 0, b = , а новыми стали а = 1, b = ).