Основы теории множеств.

Основные понятия и определения: Множество – это совокупность элементов, объединенных некоторым признаком, свойством: множество книг в библиотеке, множество студентов в группе.

Способы задания множества:

1. Перечислить все его элементы.

Например: множество, состоящее из четырех элементов .

1. Указать свойство, которым обладают все его элементы.

Например: множество натуральных чисел, меньших 20 можно задать следующим образом: .

В качестве характеристического свойства может выступать порождающая процедура, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов или из других объектов.

 Например: Если элемент  принадлежит множеству , используют запись , если не принадлежит, то .

Во множестве могут быть выделены подмножества. Если каждый элемент множества K принадлежит множеству М, множество К называют подмножеством множества М и обозначают .

Например: 1) множество всех книг данного автора в библиотеке, есть подмножество всех книг в библиотеке.

2) множество студентов, обучающихся на "4" и "5" в группе есть подмножество всех студентов группы.

3)  четных чисел меньших или равных 6, есть подмножество множества .

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Если одновременно А⊂В и В ⊂А, то говорят, что множества А и В равны, т.е. состоят из одних и тех же элементов. В этом случае принадлежность элемента множеству А необходима и достаточна для его принадлежности множеству В.

Булеаном множества М назовем множество всех его подмножеств.

Рассмотрим множеств . Составим все подмножества множества М.

, , , , , , , , , , , , , .

Подмножества   и  являются несобственными подмножествами множества М, остальные – собственные подмножества. Всего мы нашли 16 различных подмножеств множества М. Это число равно .

В общем случае, для любого конечного множества, состоящего из n элементов, число возможных подмножеств равно .

    Множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком, называется универсальным.

     Классификация множеств.

Основной характеристикой множеств является количество элементов, содержащихся в этом множестве. Множество, содержащее конечное число элементов называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Количество элементов конечного множества называют его мощностью. Если множество не содержит элементов, то оно называется пустым и обозначается .

Два множества А и В называются эквивалентными, или, равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Пример: Рассмотрим множества, состоящие из букв слов:

; ;    ;    .

Множества А, В и С имеют равные мощности: , а мощность множества D меньше . При этом множества А и В равны, а множества А и С – эквивалентны. Эталоном для сравнения множеств служит натуральный ряд чисел. Поэтому все числовые последовательности, содержащие различные элементы, эквивалентны натуральному ряду чисел.

Бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. Говорят, что все элементы счетного множества пронумерованы. В противном случае бесконечное множество будет несчетным.

   Изображение множеств.

Множества изображаются при помощи диаграмм Эйлера-Венна (кругов на плоскости). Элементы множества изображаются точками, внутри круга, если они принадлежат данному множеству и вне его, если не принадлежат.

, .

 Операции над множествами.

 Основными операциями над множествами являются операции пересечение, объединение, разность, симметрическая разность и дополнение.

Пересечением множеств А и В называется множество , состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А так и множеству В.

Пример: Если , , то .

При помощи диаграмм Эйлера-Венна пересечение множеств изображается следующим образом:

Объединением множеств А и В называется множество , состоящее из элементов, которые принадлежат или множеству А или множеству В.

Пример: Если , , то .

При помощи диаграмм Эйлера-Венна объединение множеств изображается следующим образом:

1.Разностью множеств А и В называется множество , состоящее из элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Пример: Если , , то .

При помощи диаграмм Эйлера-Венна разность множеств изображается следующим образом:

По диаграмме видно, что  можно заменить на .

2. Симметрической разностью А и В называется множество , состоящее из элементов множеств А или В, но не принадлежащих этим множествам одновременно.

Пример: Если , , то .

При помощи диаграмм Эйлера-Венна симметрическая разность множеств изображается следующим образом:

3.Дополнением множества А до множества U называется множество , состоящее из элементов множества U, которые не принадлежат множеству А.

При помощи диаграмм Эйлера-Венна дополнение множества изображается следующим образом:

Свойства операций.

Операции над множествами обладают рядом свойств, похожих на свойства операций сложения и умножения чисел.

Объединение (сложение)	Пересечение (умножение)
1. Коммутативность (переместительное свойство)
2. Ассоциативность (сочетательное свойство)
3.Дистрибутивность пересечения относительно объединения (распределительный закон)
4.Дистрибутивность объединения относительно пересечения

Пример. Доказать справедливость следующего равенства и проверить результат на диаграмме Эйлера-Венна: .

Решение. Преобразуем по очереди левую и правую части данного равенства:

1) . Заменили разность на пересечение с дополнением.

2)

.

Использовали переход от разности к пересечению, закон де Моргана, свойство дистрибутивности, свойство и .

После преобразования видно, что левая и правая части равенств одинаковые, следовательно, равенство доказано.

Проверим равенство на диаграмме Эйлера-Венна.