Методы интегрирования. Метод прямоугольников. Метод трапеции. Метод Симпсона.

2019-11-13

1494

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Численные методы –раздел высшей математики. Рассмотрим два метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод трапеций и метод Симпсона. Рассмотрим пример с рисунком. Вычислить определенный интеграл
В данном примере интеграл не берётся – перед вами неберущийся, так называемый интегральный логарифм. А существует ли вообще этот интеграл. Изобразим на чертеже график подынтегральной функции :
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади, но интеграл не берётся, на помощь приходят численные методы. При этом задача встречается в двух формулировках:

1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой. Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347, он может быть не совсем верным (в действительности, более точный ответ 5,343). Наша задача состоит лишь в том, чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой.

2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью. Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Это значит, что если получен приближенный ответ 5,347, то все цифры должны быть правильными. А точнее ответ 5,347 должен отличаться от истины по модулю не более чем на 0,001. Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла:

Метод прямоугольников. Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура (гистограмма), которая по площади близка к искомой площади: Точность построения чертежа помогает понять суть методов. В данном примере проведено разбиение отрезка интегрирования на три отрезка: . Чем чаще разбиение (больше более мелких промежуточных отрезков), тем выше точность. Метод прямоугольников даёт грубое приближение площади, поэтому очень редко встречается на практике. Метод трапеций. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается к ломаной линии:

Таким образом, площадь (синяя штриховка) приближается к сумме площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения), чем больше более мелких промежуточных отрезков, тем выше точность. Метод трапеций чаще встречается в практических заданиях.

Метод Симпсона (метод парабол). Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций. Чертеж строить нет смысла, поскольку визуально приближение будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта –практически совпала). Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самое популярное задание на практике. Вычислить определенный интеграл методом трапеций. Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков: . При этом очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами.

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций: , где: – длина каждого из маленьких отрезков или шаг; – значения подынтегральной функции в точках .

Пример 1. Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой. а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.

б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть . Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , называется шагом. Точек (узлов разбиения) будет на одну больше, чем количество отрезков:

Таким образом, общая формула трапеций сокращается до малых размеров: .

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

В соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой.

Полученное значение – это приближенное значение площади (см. рисунок выше). б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть ,увеличивая количество отрезков, увеличивается точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид: . Найдем шаг разбиения: , то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик». Во второй строке, сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг , по такому же принципу заполняется нижняя строка, Например, если , то . В результате: .

Если для 3-х отрезков разбиения , то для 5-ти отрезков . Таким образом, можно утверждать, что .

Пример 2.Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Отличие от примера 1 состоит в том, что мы не знаем, на сколько отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение . Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы достигнуть требуемой точности. Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула:

Шаг известен: . До какого разряда округлять результаты ? В условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова : к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда. В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой оставим пять знаков (можно было и четыре): .

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков.

Для формула трапеций приобретает следующий вид: .

Запись можно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения: . Результаты расчётов сведём в таблицу:

Длинную таблицу удобнее превратить в двухэтажную.

В результате:

Рассчитаем, насколько улучшился результат:

Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность, а не какой результат больше, а какой – меньше.

Полученная оценка погрешности больше, чем требуемая точность: . Поэтому необходимо ещё раз удвоить количество отрезков разбиения до , и вычислить уже . В реальных задачах часто требуется провести разбиение отрезка на 20 частей. С помощью экселевского калькулятора готовый результат можно получить в считанные секунды: . Снова оцениваем погрешность: . Полученная оценка погрешности меньше, чем требуемая точность: . Округлить последний (наиболее точный) результат до двух знаков после запятой. Ответ: с точностью до 0,01.

Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона. Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков обозначив через .На практике отрезков может быть: два: , четыре: , восемь: , десять: , двадцать: . Число понимается как единое число. То есть, нельзя сокращать, например, на два, получая . Разбиение имеет следующий вид: .

Термины аналогичны терминам метода трапеций: Точки называют узлами. Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:

где: длина каждого из маленьких отрезков или шаг; – значения подынтегральной функции в точках .

Разберём формулу подробнее: – сумма первого и последнего значения подынтегральной функции; – сумма членов с чётными индексами умножается на 2; сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Пример 3. Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков . Интеграл опять неберущийся.

Решение: Необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью. Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков (значение «эн») чтобы достичь требуемой точности. Необходимо найти четвертую производную и решать экстремальную задачу. На практике всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Решение. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше: . И формула Симпсона принимает вид: .

Вычислим шаг разбиения: .

Заполним расчетную таблицу:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов. Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования , а затем последовательно приплюсовываем шаг . В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если , то . Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой. В результате: .Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид: .

Вычислим шаг разбиения: .

Заполним расчетную таблицу: .

Таким образом : .

Оцениваем погрешность: . Погрешность больше требуемой точности: , поэтому необходимо еще раз удвоить количество отрезков: . Формула Симпсона растёт .

Вычислим шаг: .

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Вычисления желательно расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка: Оцениваем погрешность: Погрешность меньше требуемой точности: . Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать: Ответ: с точностью до 0,001.

Пример 4. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Точность вычислений 0,001.

Решение: Результаты округлить до третьего знака после запятой, а не достигнуть такой точности. Используем формулу Симпсона: .

При десяти отрезках разбиения шаг составляет .

Заполним расчетную

таблицу: .

Таблицу рациональнее сделать двухэтажной. Вычисления расписываем подробнее:
Ответ: .

Ряды

. Числовой ряд – это выражение вида: a₁ + a₂+ . . . + a_n + . . .Числа а_1,a₂…a_n. . . называются членами ряда. Они образуют бесконечную последовательность. Общий член ряда - это член a_nс производным номером. Сокращённо ряд обозначается: .Частичные суммы ряда – это суммы конечного числа членов рядаs₁ = a_n, s₂ = a₁+a₂, s₃=a₁+a₂+a₃, . . . s_n = a₁+a₂+ . . . +а_n.

Сходящейся ряд – это ряд, у которого последовательность его частичных сумм имеет конечный предел при ; . Сумма ряда - это число s, к которому сходится последовательность частичных сумм: .Ряд называется расходящимся, если такой предел не существует или бесконечен. Алгоритм нахождения суммы ряда и его применение приводится в приложении 1.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании n (при ) .Следствие. Если , то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение: Найти – предел отличен от нуля. Следовательно, данный ряд расходится. Ряд a + aq + aq² + . . . +aq^n-1 + . . ., составленной из бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом a , называется геометрическим рядом. Если q>1, то геометрический ряд расходится, если –сходится (при этом его сумма S находится по формуле ).Ряд ,называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Ряд называется рядом Дирихле. Этот ряд сходится при и расходится при

Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Положительный ряд-это ряд, члены которого положительны.

Й признак сравнения

Пусть и – ряды с положительными членами, причем для всех номеров n, начиная с некоторого, тогда:

1)если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2)если ряд расходится, то расходится и ряд

Й признак сравнения

Пусть и – ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

При использовании 1-ого или 2-ого признака сравнения, как правило, сравнивают исходные ряд с соответствующим рядом Дирихле. При этом часто используют эквивалентность следующих малых последовательностей

Пример 2. Исследовать сходимость ряда, применяя признак сравнения:

1) ;2)

Решение:1) Находим .Необходимый признак сходимости выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом, рядом Дирихле . Для всех выполняется неравенство следовательно ряд сходится.

2) Для всех выполняется неравенство , следовательно ряд расходится.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами выполняется условие , то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.Признак Даламбера не дает ответа, если l=1 в этом случае для исследования ряда применяются другие методы.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд:

1) ; 2) ; 3) ;

Решение:

1) Ряд сходится.

2) Ряд сходится.

3) Ряд расходится.

Признак Коши. Пусть -ряд с положительными членами, и существует конечный предел .Тогда, если l<1, то ряд сходится, если l>1, то ряд расходится. Если l=1,то ряд может сходится или расходится; в этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.

Пример 4. Исследовать на сходимость

Решение: Учитывая, что , получим . Следовательно, ряд сходится по признаку Коши.

Знакопеременные ряды - это ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены. Пусть дан знакопеременный ряд:

С каждым таким рядом связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда

Теорема. Если ряд сходится, то сходится и ряд . Абсолютная сходимость: знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Условная сходимость: ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится. Знакочередующийся ряд-ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки, это ряд вида или

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если выполнены два условия:

1) (абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);

2) (общий член ряда стремится к нулю при ).

Пример 5.Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

Решение: (абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);

1) Ряд сходится.

Пример 7.Исследовать на сходимость ряд

Решение: Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд. Используем признак Даламбера. Найдем отношение: ,найдем предел этого отношения: . Ряд, составленный из модулей, сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Функциональный ряд – это выражение вида

Где – некоторая последовательность функций. Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если при x= он обращается в сходящийся числовой ряд. Область сходимости функционального ряда – это совокупность всех значений, при которых ряд сходится. Из всех функциональных рядов наиболее распространенными на практике являются степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида где числа называются коэффициентом ряда, а член – общим членом ряда.

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при ряд сходится и при том абсолютно, а при ряд расходится. Радиус сходимости R можно найти, используя признак Даламбера: (x не зависит от n), откуда т.е. ряд сходится при любых x, удовлетворяющих этому условию, и расходится при . Отсюда следует, что если существует предел R= . То радиус сходимости ряда R равен этому пределу и ряд сходится при x < R, т. е. в промежутке – R < x < R, который называется интервалом сходимости. Если предел равен нулю (R = 0), то ряд сходится в единственной точке x = 0. Сходимость ряда при x = - R и x = R исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

Пример8. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

1) ; 2)

Решение: 1) Запишем коэффициент ряда ;

найдем отношение . Следовательно, промежуток сходимости есть - < x < , т.е. данный ряд сходится на всей числовой прямой.

2)Запишем коэффициент ряда

Следовательно, данный ряд сходится при -1 < x < 1. Исследуем сходимость ряда в точках x = -1 и x = 1При x=-1 имеем ряд . Это знакочередующийся ряд, по признаку Лейбница сходится. При x=1имеет ряд или . Этот ряд Дирихле, который расходится, так как .Отсюда следует, что данный ряд сходится при -1 x<1.

Разложение функций в степенные ряды.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

Если a=0, то получим частный случай ряда Тейлора

, который называется рядом Маклорена.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

1)вычислить значения функции и её производных в точке x=0, т.е. f(0),f’(0),f”(0),…

2)составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу

3)найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

Пример 9.Разложить в ряд Маклорена функцию:

Решение: Вычислим значение функции и ее производных при x=0;

Заметим, что производные четного порядка , а производные нечетного порядка .Подставив эти значения в формулу (2), получим разложение синуса в ряд Маклорена:

Определим промежуток сходимости полученного ряда

т.е. ряд сходится в промежутке .

Сумма ряда. Основные понятия и определения.. Сумма ряда или , где -частичные суммы. , …,

Найдите сумму ряда: ;

План решения	Применение плана
План решения
1. Записать …	, , ,	, , , , бесконечно убывающая прогрессия
2. Найти	, , , ,…,
3.Записать последовательность частичных сумм.
4. Записать общий член последовательности
5. Найти		Используя формулу , получим
6. Сделать вывод	Ряд сходится и его сумма равна	Ряд сходится и его сумма равна 1