Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

 рис 1.

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy- мнимой осью.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.

Аргументом комплексногочисла z называют угол φмежду положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z.

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.2).

 Рис.2

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0.

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Пример 1. Записать в тригонометрической форме комплексное число z = 1+ i

Решение:

Модуль этого комплексного числа есть , тогда , , откуда

Окончательно запишем:

Обычно из бесконечного множества значений аргумента комплексного числа выбирают то, которое заключено между 0 и 2  . В нашем случае таким значением является . Окончательно (рис. 3) запишем