Теоретический материал

 При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации.

Перестановка– это комбинации, составленные из всех п элементов множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число перестановок из п элементов:

Р_п = п!

Размещение – это комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из п элементов по т:

Сочетание – это неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний из п элементов по т:

Задача 1. У одного мальчика 4 книги по математике у другого-3. сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

Решение. Чтобы мальчики смогли обменять 2 книги одного на 2 книги другого, каждому из них нужно выбрать 2 книги для обмена. Определим, сколькими способами это сможет сделать каждый из n элементов по R:

Cn^k=n!/k!(n-k)!
C4^2=4!/2!(4-2)!=1*2*3*4/1*2*1*2=6
Количество выборок из 3-ех книг по две книги C3^2=3!/2!(3-2)!=3
Теперь нужно определить, сколько пар можно составить из множеств, состоящих из 6 элементов, с множеством из 3 элементов. Число таких пар равно 3*6=18

Задача2. К кассе кинотеатра одновременно подошли 5 человек. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?

Решение: Согласно условию задачи, у нас есть множество, состоящее из 5 элементов. Нам нужно подсчитать количество расположений (без повторений) этих элементов на 5 местах то есть определить число перестановок 5 элементов. Это число равно 5!=1*2*3*4*5=120.

Задача3. Вероятность рождения мальчика равно 0,5.В семье есть 2 мальчика, и ждут еще одного ребенка. Найдите вероятность того, что родится девочка.

Решение: События рождения девочки или мальчика, являются независимыми. В том числе эти события не зависят от того, мальчики или девочки рождались в семье прежде, или вообще семья не имела детей на момент рождения ребенка. Поэтому вероятность рождения девочки равна 1-0,5=0,5.
Задача 4. Бросают 3 игральных кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет не более 4 очков.

Решение: Все равновозможные исходы при бросании 3 кубиков образуют множество точек, в которых первая цифра-кол. очков, выпавших на первом кубике, вторая-на втором, третья-на третьем. Количество всевозможных троек равно 6*6*6=216.
Событию выпадения на трех кубиках не более 4 очков соответствуют 4 тройки:
(1;1;1) (1;1;2) (1;2;1) и (2;1;1). Следовательно, вероятность того что в сумме на трех игральных кубиках выпадет не более 4 очков, равна 4/216=1/54

Задача5. Измеряя вес семи пришедших на урок учеников, учитель физкультуры получил ряд чисел:51; 53; 59; 52; 55; 54; 51.
Найти разность между модой и медианой этого ряда.
Решение: модой ряда является число наиболее встречающееся в нем. В данном ряду мода равна 51. Для того, чтобы найти медиану, упорядочим заданный ряд по возрастанию: 51, 51, 52, 53, 54, 55, 59.
Поскольку в этой последовательности нечетное число элементов, то медианой ряда будет число, стоящее посередине, т.е. 53. следовательно, разность между модой и медианой равна 51 - 53= -2

Задача 6. сколько всего можно составить четырехзначных чисел, начинающихся с цифры 3 и состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, в записи которых все цифры ,кроме 3, встречаются по одному разу, а цифра 3 не более двух раз.
Решение:
Задача 7. в классе 10 девочек. для участия в танцевальном конкурсе нужно выбрать группу из 7 девочек. сколько различных групп можно составить?

Решение: По условию, в конкурсе должны учавствовать7 девочек. Выбрать 7 из 10 можно так: С10^7=10!/31(10-3)!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10/1*2*3*4*5*6*7=120

Задача 8. Сколько различных чисел можно составить, переставляя цифры числа 121232?

Решение: в задаче необходимо составить различные шестизначные числа: если бы цифры числа не повторялись, то можно было бы составить P6 чисел. Однако, по условию, цифра 1 повторяется 2 раза, а цифра 2-3 раза, значит, искомых чисел будет в Р2*р3 раз меньше, т.е. можно составить Р6/P2*P3=1*2*3*4*5*6/1*2*3*1*2=60

Задача 9. Сколько встречается четных четырехзначных чисел, в которых 3,4,5 и 6(цифры) использутся по одному разу?

Решение: Из четырех различных цифр можно составить Р4 чисел, т.к. четных и нечетных цифр поровну, то можно составить P4/2 четных чисел P4/2=1*2*3*42=12

Задача 10. бросают три монеты. найти вероятность того, что выпадет ровно одна решка.

Решение: Представим в таблице множество равновозможных исходов.
Обозначим А-событие, что выпала ровно одна решка, тогда Р(А)=3/8
Задача 11. В корзине лежат 3 красных, 4 зеленых и 5 сини шаров. Найти вероятность того, что наугад извлеченный шар окажется зеленым или синим

Решение: всего в корзине 3+4+5=12 шаров, зеленых и синих 4+5=9 шаров
Вероятность появления зеленого или синего шара (события А). Найдем по формуле P(A)=9/12=3/4=0,75
Задача 12. Дан ряд данных: 16, 15, 18, 12, 13, 20, 16, 14, 11.
Найдите на сколько мода этого ряда больше среднего.

Решение: Найдем среднее данного ряда X=(16+15+18+12+13+20+16+14+11)/9=15
Найдем моду m; m=16,m- X=16-15=1
Задача 13.
Ученики 9-го класса получили следующие оценки по математике за четверть
45534443545553344443. Определить процентную частоту оценки 5.

Решение: Всего в классе 20 учеников. Оценку 5 получили 6 учеников, значит проентная частота пятерки 6/20*100=30%

Практическая работа №6

Решение прикладных задач на нахождение вероятности события