Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

«Самарский государственный университет путей сообщения» в г. Саратове

Филиал СамГУПС в г. Саратове

Методические рекомендации по выполнению практических работ

По математике

Студента группы

 

Саратов

2019-2020 учебный год

Содержание

Практическая работа №1 Комплексные числа и действия над ними

Практическая работа №2 Построение графа по условию ситуационных задач: в управлении инфраструктурами на транспорте; в структуре взаимодействия различных видов транспорта.

Практическая работа №3 Применение обыкновенных дифференциальных уравнений при решении прикладных задач

Практическая работа №4 Решение прикладных задач с применением числовых рядов.

Практическая работа №5 Решение прикладных задач с использованием комбинаторики.

Практическая работа №6 Решение прикладных задач на нахождение вероятности события.

Практическая работа №7 Исследование свойств функции, заданной аналитически.

Практическая работа №8 Решение прикладных задач с использованием метода Эйлера.

Практическая работа №1

Комплексные числа и действия над ними

Теоретический материал

Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i² = – 1.

Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.

Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей, т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Например :

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Например :

(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;

(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

Правило умножения комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (a с + bd) + (ad + bc)i

Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di 0

.

                           

 

 Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x , y), записывается в виде

z = x + i y.

(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей.

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z.

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z.

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами.

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле