Числовые ряды. Сходимость рядов
Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и1, и2,и3,…,и n … соединенных знаком сложения: и1+и2+,и3+…+и n + …= Числа и1, и2,и3,…,и n… называются членами ряда, член и n - общим членом или n -м членом ряда. Ряд считается заданным, если известен его общий член и n. Например, ряд с общим членом и n= имеет вид Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член. Пример : Найти в простейшей форме общий член ряда: а) б) Решение : нетрудно убедиться, что для ряда а) общий член , а для ряда б) Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда: S1=u1, S2=u1+u2, …, Sn=u1+u2+u3+…+un. Сумма n первых членов ряда Sn называется n -й частичной суммой ряда. Определение : Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е. Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать
Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. Теорема ( необходимый признак сходимости). Если ряд сходиться, то предел его общего члена и n при равен нулю, т.е. Пример . Исследовать сходимость ряда Решение: т.е. необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходиться. Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами: причем члены первого ряда превосходят членов второго ряда, т.е. при любом n un ≤ . Тогда : а) если сходиться ряд (2), то сходиться и ряд(1); б) если расходится ряд(1), то расходиться и ряд (2). Пример . Исследовать сходимость ряда . Решение: Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом ( его знаменатель q= <1) Так как члены данного ряда, начиная со второго , меньше членов сходящегося геометрического ряда , то на основании признака сравнения ряд сходиться. Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену Тогда, если D< 1, то ряд сходиться; если D> 1, то ряд расходиться; если D=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным. Пример . Исследовать сходимость ряда . Решение: . Тогда предел отношения будет равен то по признаку Даламбера ряд сходиться. Замечание 1. Если , то ряд расходиться. Замечание 2. Если =1, то признак Даламбера ответа о сходимости не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сравнения. Под знакочередующимся рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1un+… , un>0. Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u 1 > u 2 …> un >… и предел его общего члена при n равен нулю, т.е , то ряд сходиться, а его сумма не превосходит первого члена S ≤ u 1 . Пример. Исследовать сходимость ряда
Решение : Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена , то по признаку Лейбница ряд сходиться. Практическая работа №5
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (237)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |