Случайные события. Вероятность события.

Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.

Событие, всегда осуществляющееся при проведении опыта, называют достоверным событием.

В том случае, когда событие заведомо не может произойти в результате опыта, его называют невозможным.

События А и В называются равносильными (равными), если А происходит тогда и только тогда, когда происходит В.

Вероятностью Р(А) события А, связанное с опытом с равновероятностными исходами, называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов.

Пример 1: Подбрасывается игральная кость.

Найти вероятность

а) выпадения 6;

б) выпадения очков кратных 2;

в) выпадения числа меньшего 4.

Решение: 

а) так как на игральной кости всего одна цифра 6, то число исходов, благоприятствующих событию А, равно 1. Всего на игральной кости шесть цифр (граней), значит, число всех исходов равно 6.

Получаем:

б) так как на игральной кости всего три цифры кратны 2 (2, 4, 6), то число исходов, благоприятствующих событию А, равно 3. Всего на игральной кости шесть цифр (граней), значит, число всех исходов равно 6.

Получаем:

в) так как на игральной кости всего три цифры меньше 4 (1, 2, 3), то число исходов, благоприятствующих событию А, равно 3. Всего на игральной кости шесть цифр (граней), значит, число всех исходов равно 6.

Получаем:

Пусть n(A) – число опытов, в которых наступило событие А. Отношение  называется частотой события А в данной серии опытов.

 

Теория вероятностей позволяет определять вероятность события по известным вероятностям других событий, связанных с этим событием. В этом случае используют теоремы сложения и умножения вероятностей.

Прежде чем познакомиться с теоремой, введем понятия: зависимые и независимые события. Рассмотрим примеры:

а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А - попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.

б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С - выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность - Р(Д). Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.

В данных примерах описаны независимые события.

 Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Сумма событий А_1, А₂, …, А_n – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий: А₁+ А₂+……+А_n=

Произведение событий А_1, А₂, …, А_n – событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий: А₁· А₂·…·А_n=

Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Вероятность суммы двух произвольных событий А и В определяется по формуле: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Если события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Следствие. Вероятность P( ) противоположного к A события равна 1 — P(A):

P( ) = 1 — P(A).

Следствие. Если события  несовместны и  - достоверное событие, то .

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

.

При применении теоремы безразлично, какое событие считать первым, какое вторым:

Следствие. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Решая задачи, нужно придерживаться общей схемы.

1. Определить, в чем состоит случайный эксперимент, и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они равновозможны.

2. найти общее число элементарных событий N.

3. Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число N(A).

4. Найти вероятность события А по формуле Р(А)= N(A)/N

 

Задача 14. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение: Случайный эксперимент-бросание жребия. Элементарное событие- участник, который выиграл жребий. Перечислим их:

(Вася) (Петя) (Коля) (Миша). Общее число элементарных событий N = 4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны событию А="" Жребий выиграл Петя "" благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1

Тогда P(A)=N(A)/N=1/4=0,25

Задача 15. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше, чем 4?

Решение: Здесь случайный эксперимент-брсание кубика. Элементарное событие- число на выпавшей грани. Граней всего 6. Перечислим все элементарные события: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Значит, N=6 событию А="" выпало больше, чем и у благоприятствуют два элементарных события: 5, 6
Элементарные события равновозможны, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому P(A)=N(A)/N=2/6=1/3

Задача 16. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение: Орел обозначим буквой О решку-Р. В описанном эксперименте могут быть следущие элементарные исходы:
ОО ОР РО и РР
Значит, N=4. Событию А=""выпал ровно один орел"" благоприятствуют элементарны события ОР и РО. Поэтому N(A)=2. Тогда Р(А)=N(A)/N=2/4=0,5

Задача 17. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

Решение: Элементарный исход в этом опыте- упорядоченная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе-на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату 1 броска, столбцы- 2-ого. всего элементарных событий N=36.

1	2	3	4	5	6
2	3	4	5	6	7
3	4	5	6	7	8
4	5	6	7	8	9
5	6	7	8	9	10
6	7	8	9	10	11
7	8	9	10	11	12

 

Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и клетки, где сумма =8. Таких ячеек пять. Значит, событию А=""Сумма равна 8"" благоприятствуют пять элементарных исходов. Следовательно, N(A)=5. Поэтому, Р(А)=N(A)/N=5/36

Задача 18. В случайном эксперименте монету бросают три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза?

Решение: Орел- О, решка-Р. В описанном эксперименте элементарные исходы- тройки, составленные из букв О и Р.
Выпишем их все в таблицу

Элементарный исход	Число орлов
ООО	3
ООР	2
ОРО	2
ОРР	1
РОО	2
РОР	1
РРО	1
РРР	0

 

Всего исходов получилось 8. Значит, N=8. Событию А=""Орел выпал ровно 2 раза"" благоприятсвуют элементарные события ООР, ОРО, РОО, N(A)=3

P(A)=N(A)/N=3/8=0,375

Задача 19. В среднем из тысячи аккумуляторов 6-неисправных. Найти вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным

Решение: N=1000 . Значит 1000-6=994 исправных
N(A)=994, тогда Р(А)=N(A)/N=994/1000=0,994

Задача 20. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или не пишет равна 0,1. покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найти вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение: A=""выбранная ручка пишет хорошо"". Известна вероятность противополоржного события: Р(А)=0,1

Использем формулу вероятности противоположного события: Р(А)=1-Р(А)=1-0,1=0,9

Задача 21. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найти вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

А=""оба автомата исправны"" для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий: Р(А)=0,05*0,05=0,0025
Значит, вероятность события А=""хотя бы один автомат исправен"" равна Р(А)=1-Р(А)=1-0,0025=0,9975

 

Элементарные события - простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1.

 

Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных события, благоприятствующих этому событию.

 

Объединение событий А ᴗ В - событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий.

 

Пересечение событий А ᴖ В - событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям.

 

Противоположные события. Событие А, состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в А.

 

Несовместимые события-события, которые не наступают в одном опыте. Противоположные события несовместимы.
Вероятности противоположных событий: Р(А)+Р(А)=1 Р(А)=1-Р(А)

Формула сложения вероятностей Р(А ᴗ В)=Р(А)+Р(В)-Р(А ᴖ В)

Формула сложения вероятностей для несовместимых событий Р(А ᴖ В)= Р(А)+Р(В)

Формула умножения вероятностей Р(А ᴖ В)=Р(А)*Р(В/A),

где Р(B/A)- условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

 

Независимые события. события А и В называются независимыми если

Р(А ᴖ В)=Р(А)*Р(В)

Формула вероятности К успехов в серии из n испытаний Бернули Cn^kP^kq^(n-k), где Cn^k=n!/k!(n-k)!, число сочетаний Р-вероятность успеха, q=1-p-вероятность удачи в одном испытани