Пространство элементарных событий.

Содержание

Предисловие

§1. Понятие события. Пространство элементарных событий. Операции над событиями.

§2. Элементы комбинаторики.

§3. Классический подход к определению вероятностей.

§4. Геометрический и статистический подходы к определению вероятности.

§5. Сложение и умножение вероятностей.

§6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

§7. Повторение испытаний.

Тест для самопроверки.

«Нулевой» вариант контрольной работы по теме «Случайные события». Образец выполнения.

Варианты индивидуальных заданий.

Ответы к задачам для аудиторных занятий и самостоятельного решения.

Ответы к тесту для самопроверки.

Приложения

Литература.

Понятие события.

Пространство элементарных событий.

Операции над событиями.

Теория и примеры.

Каждый опыт или испытание заканчивается определенным результатом. Результаты опытов называются событиями или исходами обозначаются буквами , , .

Событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти в результате проведения опыта, который можно многократно повторить при соблюдении комплекса условий . К опытам такого рода относятся все игровые ситуации: подбрасывание монеты или игральной кости, стрельба по мишени и т. п.

Событие называется достоверным (обозначается ), если оно неизбежно произойдет при реализации комплекса условий . Событие называется невозможным (обозначается Æ), если оно не может произойти.

Теория вероятностей изучает общие закономерности случайных массовых событий, независимо от их конкретной природы.

Событие является неопределенным, если в принципе, нельзя повторить опыт неограниченное число раз или нельзя сохранить неизменным условия . (Такие события теория вероятностей не рассматривает.)

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. События , , ,  называются попарно несовместными,если любые два из них несовместны.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Иначе: появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. Ввиду этого полная группа событий обозначается символом , как и достоверное событие.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными (обозначаются  и ). Событие  состоит в не появлении события .

События называются равновозможными, если есть основания полагать, что объективно ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Событие  благоприятствует событию  (или  благоприятствует событию ), если при наступлении события  событие  всегда наступает (обозначается ).

Пространство элементарных событий.

Случайные события подразделяются на элементарные и составные.

Если в результате испытания наступит одно и только одно из возможных событий , то такие события называются элементарными. Элементарные события взаимно исключают друг друга, но в результате опыта произойдет одно из них. Множество всех элементарных событий  образует пространство элементарных событий, представляет собой полную группу и обозначаются .

Случайное событие  называется составным, если определенную совокупность элементарных исходов, наступление которых влечет за собой наступление события . Из этого следует, что достоверному событию благоприятны все исходы опыта; невозможному событию не благоприятен ни один из исходов.

Пример 1.

Бросается игральная кость. Кость может упасть одной гранью из шести. Ни одна из граней не имеет объективных преимуществ перед остальными, поэтому обязательно какая-то грань выпадет, но появление двух граней невозможно.

Выпадение конкретного число очков от 1 до 6 – это элементарные события . Они равновозможны и попарно несовместны. Полная группа включает шесть элементарных событий.

Случайное событие , состоящее в появлении нечетного числа очков на грани является составным: ему благоприятствуют элементарные исходы  , , .

Противоположным событием  является событие, состоящее в появлении четного числа очков: ему благоприятствуют элементарные исходы , , .

Случайное событие , состоящее в появлении 7 очков, является невозможным.

Случайное событие С, состоящее в появлении на грани любого числа очков от 1 до 6, является достоверным. Ему благоприятствуют все элементарные исходы.

Операции над событиями.        

Суммой двух событий A и B называется                                                       

                  событие С состоящее в появлении      события А, или события В, или обоих 

этих событий. Обозначается: .

На рис. 1.1 дана геометрическая иллюстрация суммы двух совместных событий, где  и    пересекающиеся мишени.

Замечание 1. Если два события  и несовместны, то  событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

  На рис. 1.2  и  - непересекающиеся мишени. Сумма событий – попадание в любую мишень.

Замечание 2. Сумма событий, образующих полную группу, рана достоверному событию: .

Произведением двух событий  и  называют событие , состоящее в совместном появлении (совмещение) этих событий. Обозначается .                             

На рисунке 1.3 произведение показано как область  принадлежащая обеим пересекающимися мишенями.

Замечание 3. Произведение несовместных событий есть невозможное событие . Для попарно несовместных событий , если .

Замечание 4. Для противоположных событий одновременно выполняются два условия:

1)  - сумма есть достоверное событие, т. е. противоположные события в сумме дают все пространство элементарных событий;

2)  - произведение есть невозможное событие.

Разностью двух событий   называется событие , состоящее в появлении события , но не появлении события . Обозначается .

 

        На рисунке 1.4 событие  показано как область, принадлежащая только мишени  (двойная штриховка).

Пример 2.

, ,  – события, которые могут появиться в результате испытания.. Выразить через , ,  следующие события:

− произошло только А₁;

 − произошло только одно из данных событий;

 − произошли только два из данных событий;

 − произошли все три события;

 − произошло не менее двух из данных событий;

 – ни одно из данных событий не произошло;

 – произошло хотя бы одно из данных событий.

Указать (если есть) несовместные события, противоположные события. Найти пару событий, среди которых одно влечёт наступление другого.

Решение.

Событие  заключается в том, что произошло только _, а значит, не произошли события  и (то есть произошли  и ), следовательно,

Событие  заключается в том, что произошло или только событие , или только событие , или только событие , следовательно,

.

Событие  заключается в том, что произошли два какие-то события, то есть или события  и  ( но  не произошло), или  и  (но  не произошло), или   и  (но  не произошло)_, следовательно,

Событие  заключается в том, что произошло событие , и событие , и событие , поэтому

Событие  заключается в том, что произошли два или три события, следовательно,

Событие  заключается в том, что не произошло событие , и не произошло событие , и не произошло событие , следовательно,

Событие  заключается в том, что произошло одно событие, или два события, или три события, следовательно,

Еще один способ представления события  основан на том, что события , , ,  образуют полную группу событий:

, откуда . Событие  - «произошло хотя бы одно из данных событий» и  - «не произошло ни одно из данных событий» являются противоположными, т. е. , поэтому

.

Такое представление события  окажется удобным в дальнейшем при вычислении вероятностей событий (см. §4, пример 2).

Несовместными являются события:

А и С, А и D, А и E, А и F, B и С, B и D, B и E, B и F, C и D, C и F, E и F, F и G.

Укажем пары событий, среди которых одно влечет наступление другого: