Локальная приближенная формула

Муавра-Лапласа:

, где

,

Обычно этой формулой пользуются в случае, если  (n достаточно велико, р по-прежнему отлично от 0 и 1). Найденное значение  тем точнее n.

Замечание 1. Функцию  можно находить по специальным таблицам (см. Приложение 1), где помещены значения функции  для неотрицательных х. Значения функции  для отрицательных х легко найти, обратив внимание на то, что  является четной функцией: .

Интегральная приближенная формула

Муавра-Лапласа:

, где

,  

Таким образом, интегральная приближенная формула Муавра-Лапласа позволяет находить вероятность того, что в n испытаниях число наступлений некоторого события находится между k₁ и k₂ при условии, что n велико; .

Замечание 2. Функцию  также можно находить по специальным таблицам (см. Приложение 2), где помещены значения функции  для неотрицательных х. Значения функции  для отрицательных х легко найти, обратив внимание на то, что  является нечетной функцией: . При  можно принять .

Приближенная формула Пуассона:

, где

Формулой Пуассона пользуются при анализе массовых (n велико), редких  событий, если можно допустить, что среднее число  появлений события в различных сериях испытаний остается неизменным.

Пример 1.

Стрелок делает 4 независимых выстрела по мишени, в каждом из которых вероятность попадания равна 0,8. Найти вероятности следующих событий:

В – стрелок попал в мишень один раз,

С – стрелок попал в мишень два раза.

Решение.

Введем события А _i – стрелок попал в мишень при i-том выстреле, где .

По условию , следовательно,

Выразим через события В и С через А _i :

;

.

Видим, что события В и С, состоят из ряда сложных несовместных событий, каждое из которых представляет собой произведение независимых элементарных событий  и .

Найдем вероятности событий В и С:

.

.

Замечание 3.

При вычислении вероятности события В получены одинаковые слагаемые: в каждом из них присутствует 0,8. Это показывает, что в одном из четырех испытаний произошли события А _i, вероятности которых постоянны и равны 0,8. Присутствие (0,2)³ показывает, что в оставшихся трех испытаниях произошли события . Всего таких слагаемых 4, что равно числу способов, которыми можно из четырех испытаний выбрать одно, в котором произойдет событие А _i, то есть равно числу сочетаний из четырех по одному ( ).

Аналогично при вычислении вероятности события С получили одинаковые слагаемые: в каждом из них присутствует (0,8)²  (это показывает, что в двух из четырех испытаний произошли событие А_i), и (0,2)², (это показывает, что в оставшихся двух испытаниях произошли события ). Всего таких слагаемых 6, что равно числу способов, которыми можно из четырех испытаний выбрать два, в которых произойдет событие

А _i, то есть равно числу сочетаний из четырех по два ( ).

С учетом Замечания вероятности событий В и С могут быть найдены гораздо быстрее, если применить формулы Бернулли:

;

       Пример 2.

Вероятность некоторого события в каждом испытании постоянна и равна 0,75. Найти вероятность того, что это событие в 192 испытаниях наступит 1) 150 раз, 2) 135 раз, 3) не менее 135 и не более 150 раз.

Решение:

По условию , . Величина .

 Воспользуемся приближенными формулами Муавра-Лапласа.

1) Найдем х и по таблице  для :

.

Тогда .

2) Найдем х и по таблице  для :

.

Тогда .

1) По таблице находим:

, .

.