Задачи для аудиторного занятия.

№ 6.1 В тире 6 винтовок, 4 снабжены оптическим прицелом. Стрелок наудачу выбирает винтовку. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки без оптического прицела 0,72. Найти вероятность попадания в цель.

№ 6.2 Имеются 3 партии изделий: 25% − изделия первой партии, 40% − изделия второй, остальные − изделия третьей партии. Вероятность того, что изделие без дефекта, для первой партии равна 0,8, для второй – 0,85, для третьей – 0,9. Найти вероятность того, что извлеченное наудачу изделие оказалось без дефекта.

       № 6.3 На рисунке схема дорог. Туристы вышли из пункта О, наугад выбирая на разветвлении дорог один из путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А?

№ 6.4 На стоянке 2 машины. Подъезжает третья − легковая. Найти вероятность того, что первая отъехавшая машина − легковая, если равновозможны все предположения о первоначальных машинах.

№ 6.5 Имеются 2 партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие − брак. Одно изделие из первой партии переложили во вторую. После чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Найти вероятность того, что извлечено бракованное изделие.

№ 6.6 По условию задачи 6.1 определить вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки с оптическим прицелом, если цель была поражена.

№ 6.7 По условию задачи 6.2 определить вероятность того, что извлеченное изделие оказалось из третьей партии, если известно, что оно без дефекта.

№ 6.8 Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен, 3 человека (отличники) знают все 20 вопросов, 4 человека (хорошисты) знают 16 вопросов, 2 человека (троечники) знают 10 вопросов, 1 человек (двоечник) знает 5 вопросов. Студенту предложили 3 вопроса, на которые он ответил. Какова вероятность того, что он отличник?

Задачи для самостоятельного решения.

№ 6..9 В коробкенаходится 20 деталей 1-го сорта, 16 деталей 2-го сорта. Вероятность того, что деталь является бракованной, если она 1-го сорта, равна 0,05. Вероятность того, что деталь является бракованной, если она 2-го сорта, равна 0,2. Наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что она отличного качества.

№ 6.10 В специализированную больницу поступают в среднем 60% больных с заболеванием K, 40% − с заболеванием L, 20% − с заболеванием M. Вероятности полного излечения болезней K, L, M соответственно равны 0,5, 0,8, 0,7. Найти вероятность того, что поступивший в больницу больной будет выписан здоровым.

№ 6.11 В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй 4 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают 2 шара. После этого из второй урны берут 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

№ 6.12 По условию задачи 2 определить вероятность того, что поступивший в больницу больной страдал заболеванием L, если известно, что он выписался здоровым.

№ 6.13 В семье три человека: мама, папа, сын. В будние дни посуду моет мама. На выходных папа и сын делят работу поровну. Вероятность того, что мама что-то разобьет при мытье посуды, равна 0,007. Вероятность того, что папа что-то разобьет, равна 0,049. Вероятность того, что сын что-то разобьет, равна 0,035. Была обнаружена разбитая тарелка. Найти вероятность того, что ее разбил папа.

№ 6.14 Студент выучил не все вопросы экзаменационных билетов. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него меньше: при вытаскивании билета первым или последним?

Повторение испытаний.

Теория и примеры.

Пусть проводится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может быть зафиксировано наступление или не наступление некоторого события А. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна, равна р и не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний. Тогда вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна .

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит k раз в произвольной последовательности вычисляется по формуле:

,

если  и р существенно отличается от 0 и 1.

Формула носит название формулы Бернулли.

При большом числе испытаний использование формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям, поэтому в таких ситуациях пользуются приближенными формулами Муавра-Лапласа или формулой Пуассона.