по теме «Случайные события»

Задача 1.

На экспертизу отправлено 4 подозрительные на брак изделия. А_i – событие, заключающееся в том, что i-е изделие бракованное. Найти выражения для событий:

A − только третье изделие бракованное;

B − два изделия бракованные;

C − по крайней мере два изделия бракованные;

D − хотя бы одно изделие бракованное.

Указать (если есть) несовместные события, противоположные события. Найти пару событий, среди которых одно влечет наступление другого.

Задача 2.

В организации некоторого мероприятия принимают участие 6 юношей и 4 девушки. Из них для встречи и регистрации участников мероприятия выбирают трех человек. Найти вероятности событий:

1) для встречи и регистрации выбраны 2 девушки;

2) для встречи и регистрации выбран хотя бы один юноша.

Задача 3.

Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для 1-го равна 0,6, для 2-го – 0,8, для 3-го – 0,5. Найти вероятности событий:

1) какие-то два стрелка попали в мишень (событие А);

2) хотя бы один стрелок попал в мишень (событие В).

Задача 4.

Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом (событие А).

Задача 5.

Пусть всхожесть семян ржи составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет: а) ровно три (событие А); б) не менее двух (событие В)?

Образец выполнения

Контрольной работы.

Решение задачи №1.

Событие A заключается в том, что третье изделие бракованное, а остальные три изделия не бракованные, следовательно:

.

Событие B заключается в том, что бракованные какие-либо два изделия, следовательно:

    Событие C заключается в том, что или два, или три, или четыре изделия бракованные,  следовательно:

 - три изделия бракованные;

 - четыре изделия бракованные;

;

;

.

Событие D заключается в том, что или одно, или два, или три, или четыре бракованных изделия, следовательно:

 - одно изделие бракованное;

.

Выражение для события D можно найти иначе. Рассмотрим событие  - противоположное событию D.

 - нет ни одного бракованного изделия;

;

.

Несовместные события:  и ;  и ;

События, среди которых одно влечет наступление другого: ; ; ; .

Решение задачи №2.

 В данной задаче испытанием является отбор 3 человек из 10 человек.

Общее число n элементарных исходов равно числу сочетаний из 10 по 3:

.

 Так как это число конечно и все исходы равновероятны, то по классической схеме определения вероятности вероятность любого события равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов.

а) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.

 - число способов, которыми можно отобрать двух девушек из четырех, при этом еще одного человека следует выбрать из юношей.

 - число способов, которыми можно отобрать одного юношу из шести.

 - общее число элементарных исходов, благоприятствующих событию А (число способов, которыми можно выбрать из имеющихся 10 человек трех, среди которых две девушки и один юноша). Следовательно, 

.

 

б) Событие  - не выбрали ни одного мальчика – является противоположным событию , поэтому .

Найдем вероятность события . Число исходов, благоприятных событию  равно числу способов, которыми можно отобрать 3 девушек из 4, то есть равно числу сочетаний из 4 по 3 ( ), следовательно,

.

Искомая вероятность

.

Решение задачи №3.

Введем события, вероятности которых известны по условию задачи:

 – 1–й стрелок попал в мишень,

 – 2-й стрелок попал в мишень,

 - 3-й стрелок попал в мишень.

Тогда , , , , ,

.

1) Выразим событие через , , .

События  А заключается в том, что 1-й стрелок попал в мишень, 2-й стрелок попал в мишень, а 3-й не попал (событие ), или 1-й стрелок попал в мишень, 3-й попал, а 2-й стрелок не попал (событие ), или 2-й и 3-й стрелки попали в мишень, а первый не попал (событие ), поэтому

.

События , ,  являются несовместными, следовательно,

2)Выразим события В через , , .

Рассмотрим событие  - противоположное событию .  - ни один стрелок не попал в мишень. Выразим события  через , , , получим

.

В силу независимости событий , ,  (следовательно, и событий , , ) заключаем:

 

.

События  и  образуют полную группу событий, следовательно,

.

Решение задачи №4.

Решение.Введем гипотезы:

 - деталь произведена первым автоматом;

­ деталь произведена вторым автоматом.

Гипотезы  и  образуют полную группу событий. Так как первый автомат производит деталей вдвое больше второго, то

; .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, равна , если же она произведена вторым автоматом, то .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь отличного качества по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, находится по формуле Байеса:

.

Решение задачи №5.

Так как всхожесть каждого семени не зависит от всхожести остальных и вероятность всхожести всех семян одинакова, то применима формула Бернулли: , где , , .

а) .

б) Рассмотрим событие  (противоположное событию ) - взошло менее двух семян:

,

Тогда .

 

 

Ответы к задачам для аудиторных занятий и самостоятельного решения

№1.1. ;

      ;

      ;

      ; ;  

      ; ;

      ; .

Несовместные события: А и С, А и D, A и Е, A и G, B и С, B и D, B и Е, B и G, С и D, C и G, D и E, D и G, Е и G, G и H.

Противоположные события: G и H.

События, среди которых одно влечет наступление другого: , , , , , , .

№1.2.

;

        

;

; ;

;

.

Несовместные события: А и B, А и C, В и С, С и Е.

Противоположные события: С и Е.

События среди которых одно влечет наступление другого: , , , .

 №1.3. ; ; ; ; ; .

Несовместные события: А и В, А и С, А и Е, В и С, В и Е, С и D, С и Е.

Противоположные события: С и D.

События, среди которых одно влечет наступление другого: , , .

№1.4. , , , , , , , .

№1.5. .

№1.6.

     ; , ,

.

№1.7. ,

, .

№1.8. ; ,

, , , ,

.

Несовместные события: А и В, А и С, А и D, А и Е, А и F, В и D, В и F, C и D, С и F, D и F, E и F,  F и G.

Противоположны события: F и G.

Событие среди которых одно влечет наступление другого: , , , , , , , , .

№1.9. ,

,

,

.

Несовместные события: А и В, А и С, А и D, B и C, B и D, C и D.

Противоположных событий нет.

Нет событий, среди которых одно влечет наступление другого.

№1.10. , , , , ,

№1.11. .

№1.12. Замечание. Попадание в мишень будем обозначать 1, промах – 0.

     ;

, ,

.

№1.13. ,

.

№2.1. 120; 60; 10. №2.2. 24. №2.3. . №2.4. . №2.5. . №2.6. . №2.7. . №2.8 . Указание. Из 10 цифр по 3 можно составить  размещений; из них нужно исключить  тех, что начинаются цифрой 0. №2.9. . Указание. Первая цифра может быть выбрана четырьмя способами, оставшиеся -  способами. Общее количество способов находится по правилу умножения. №2.10. . №2.11. . №2.12. . №2.13. . №2.14. . №2.15. . Указание. Существует 5! Перестановок из 5 цифр. Из рассмотрения следует исключить те, которые начинаются с 0 (их будет 4!). №2.16. .

 

№ 3.1 3/4. № 3.2 , .  № 3.3 а) 54/125; б) 36/125; в) 8/125. № 3.4 1/5. 

 № 3.5 2/5. № 3.6 2/15. № 3.7 1) 6/143; 2) 60/143; 3) 999/1001. № 3.8 1) 1/1785; 2) 16/595; 3) 109/357. №3.9    № 3.10 1/60. № 3.11 1/40320.  

№ 3.12 1/720. № 3.131/1000. № 3.14    № 3.15    № 16.     № 17.

№ 4.1 а) 3/8; б) 3/8; в) 1/2. № 4.2 1/18. №4.3 а) 98/175; б) 32/175; в) 4/175.  № 4.4 1) 1/14; 2) 3/7; 3) 209/210. № 4.5 1) 1/285; 2) 8/285; 3) 29/57. № 4.6 1)   2)   3)    № 4.7 а) 4/7; б) 2/7. № 4.8 1/120. № 4.9 . № 4.10. 1/4. № 4.11. 1) 189/620; 2) 421/1240. № 4.12. 1/18. № 4.13. 2/7.

№ 5.1. 1/4. № 5.2.    № 5.3.    № 5.4. 3/5. № 5.5 № 5.6. 5/9. № 5.7.  Указание. воспользоваться способом вычисления площади через определенный интеграл. № 5.8. 0,86. № 5.9. 190.

№ 6.10. 3/5. № 6.11.    № 6.12. 2/3.   № 6.13. 7/9. № 6.14 11/36. № 6.15. 1/12. № 6.17 1/4. № 6.18. 0,05.

№ 7.1.    № 7.2.    № 7.3. 0,936. № 7.4. 0,8. № 7.5.   № 7.6. 1/3. № 7.7. 1) 2/3; 2) 5/9. № 7.8. 1/30.   № 7.9.    № 7.10. 1) 1/720; 2) 1/1000. № 7.11. не менее 6 раз. № 7.12.     № 7.13.    № 7.14. 1) 3/7; 2) 16/35. № 7.15 1/420. № 7.16. 1) 1/285; 2) 29/57. № 7.17. не менее 4 раз. № 7.18. а) 1/216; б) 1/36; в) 5/72; г) 5/12; д) 5/9.

№ 8.1. 0,84.  №8.2. 0,855.  № 8.3. 67/120. № 8.4. 2/3. № 8.5. 13/32. № 8.6. 5/7 (2/7). № 8.7. 7/19. № 8.8 114/197. № 8.9. 27/35. № 8.10. 0,76. № 8.11. 0,77. № 8.12. 8/19. № 8.13. 5/17. № 8.14. Безразлично.

№ 9.1. 0,324. № 9.2. 1) 40/243; 2) 192/243; 3) 51/243; 4) 120/243. № 9.3. одну партию из двух. № 9.4. 45/512. № 9.5. 1) 0,0231; 2) 0,0167. № 9.6. 1) 0,9935; 2) 0,9938; 3) 0,0062.   № 9.7. 1) 0,0613; 2) 0,9197; 3) 0,019; 4) 0,632. № 9.8. 1) 0,3456; 2) 0,91296. № 9.10. 1) 0,3125; 2) 0,5; 3) 0,5;  4) 0,625. № 9.11. 0,0584. № 9.12. 1)   2) 0,866; 3) 0,131; 4) 0,869.  № 9.13. 1) 0,0224; 2) 0,199; 3) 0,95.

Ответы к тесту для самопроверки

Номер вопроса	Правильный ответ	Количество баллов
№ 1	a	1
№ 2	c	1
№ 3	a	2
№ 4	d	1
№ 5	b	1
№ 6	b	2
№ 7	d	2
№ 8	c	2
№ 9	b	1
№ 10	d	1
№ 11	c	2
№ 12	b	2
№ 13	a	3
№ 14	b	2
№ 15	d	1
№ 16	a	2
№ 17	b	2
№ 18	c	2
№ 19	a	2
№ 20	c	2
№ 21	b	2
№ 22	d	3
№ 23	a	2
№ 24	c	1
№ 25	a	1

Приложение 1.

       Таблица значений функции

                        

	0	1	2	3	4
0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986
0,1	0,397	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951
0,2	0,391	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876
0,3	0,3814	0,3802	0,379	0,3778	0,3765
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034
0,8	0,2897	0,2874	0,285	0,2827	0,2803
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565
1	0,242	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,104
1,7	0,094	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878
1,8	0,079	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,062	0,0608
2	0,054	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498
2,1	0,044	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325
2,3	0,0283	0,0277	0,027	0,0264	0,0258
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071
2,9	0,006	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053
3	0,0044	0,0043	0,0042	0,004	0,0039
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,003	0,0029
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
	5	6	7	8	9
0	0,3984	0,3982	0,398	0,3977	0,3973
0,1	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3752	0,3739	0,3725	0,3712	0,3697
0,4	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3429	0,341	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,323	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,292
0,8	0,278	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
0	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
0,1	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
0,2	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
0,3	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
0,4	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
0,5	0,12	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
0,6	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
0,7	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
0,8	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
0,9	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
0	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
0,1	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
0,2	0,0317	0,031	0,0303	0,0297	0,029
0,3	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
0,4	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,018
0,5	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
0,6	0,0119	0,0116	0,0113	0,011	0,0107
0,7	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
0,8	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
0,9	0,0051	0,005	0,0048	0,0047	0,0046
0	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
0,1	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
0,2	0,002	0,002	0,0019	0,0018	0,0018
0,3	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
0,4	0,001	0,001	0,001	0,0009	0,0009
0,5	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
0,6	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
0,7	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
0,8	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
0,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001

Приложение 2.

Таблица значений функции.

x

Ф(х)