Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов и метода группировок

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками - результативным и факторным. Аналитическая связь между ними опи­сывается следующими уравнениями:

прямой

гиперболы

параболы и т.д.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графи­чески. Однако существуют более общие указания, позволяющие выя­вить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, при­мерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи - гиперболи­ческая. Если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный - значительно быстрее, то использует­ся связь параболическая или степенная.

Оценка параметров уравнений регрессии (а₀, а₁, и а₂ в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности.

Основной принцип метода наименьших квадратов рассмотрим на следующем примере: будем считать, что две величины (два пока­зателя) X и У взаимосвязаны между собой, причем У находится в не­которой зависимости от Х. Следовательно, У будет зависимой, а Х- независимой величинами.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в нахожде­нии параметров модели (а₀, а₁), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений резуль­тативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

Для прямой зависимости:

· Рассмотрим S в качестве функции параметров а₀ и а₁, проведем математические преобразования (дифференцирование) и получим:

Откуда система нормальных уравнений для нахождения парамет­ров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов при­мет следующий вид:

где n - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).

В уравнениях регрессии параметр а₀ показывает усредненное вли­яние на результативный признак неучтенных (не выделенных для ис­следования) факторов; параметр а₁ (а в уравнении параболы и а₂) –коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Применение метода наименьших квадратов объясняется неизбеж­ным наличием случайных ошибок в результатах опыта.

Статистические данные обладают ошибками упрощения, кото­рые возникают как следствие:

неполноты охвата, потому что часть единиц совокупности, полученных в результате наблюдения, не может быть использована в исследовании;

неполноты факторов, определяющих то или иное социально-эко­номическое явление, в силу того, что ни в одно уравнение, или модель, нельзя включить бесконечное число аргументов (во всех случаях отбирается только часть воздействующих факторов, причем отбор носит чисто субъективный характер);

характера выбранного уравнения связи. Как бы хорошо оно ни было обосновано, как бы теоретически адекватно ни описыва­ло исследуемое явление, оно не может быть его точным аналогом.

Решение вопроса о возможности использования метода наимень­ших квадратов для изучения связей между социально-экономически­ми явлениями зависит от свойства оценок, получаемых с помощью этого метода.

Даже при сравнительно небольшом числе наблюдений примене­ние метода наименьших квадратов позволяет получить достоверные оценки.

Метод наименьших квадратов может быть также использован в анализе косвенных наблюдений, являющихся функциями многих не­известных.