Непараметрические показатели связи. Ранговые коэффициенты связи

В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам, например рангам, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи. Данные коэффициенты исчисляются при условии, что исследуемые признаки подчиняются различным законам распределения.

Ранжирование – это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг – это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связанными.

Пример. Проранжировать предприятия автомобильной промышленности одного из регионов по величине балансовой прибыли (табл. 9.13).

Таблица 9.13

Балансовая прибыль предприятий автомобильной промышленности
одного из регионов в 2008 г. (цифры условные)

Наиболее предпочтительному предприятию, величина балансовой прибыли которого наибольшая, присваивается ранг «1»; затем в порядке уменьшения величины балансовой прибыли были проранжированы все рассматриваемые предприятия автомобильной промышленности.

Принцип нумерации значений исследуемых признаков является основой непараметрических методов изучения взаимосвязи между социально-экономическими явлениями и процессами.

Среди напараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена (ρ) и Кендалла (τ). Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связей как между количественными, так и между качественными признаками при условии, если их значения упорядочить или проранжировать по степени убывания или возрастания признака.

Коэффициент корреляции и рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):

                                                         (9.45)

где  – квадрат разности рангов; n – число наблюдений (число пар рангов).

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла (τ) может также использовать для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты, ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициент Кендалла осуществляется по формуле

                                                         (9.49)

где n – число наблюдений (число пар рангов); S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1) значения Х ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2) значения У располагаются в порядке, соответствующем значениям Х;

3) для каждого ранга У определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяется величина Р как мера соответствия последовательностей рангов по Х и У и учитывается со знаком (+);

4) для каждого ранга У определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком (–);

5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Если в изучаемой совокупности есть связные ранги, то расчеты необходимо проводить по следующей формуле:

                                     (9.50)

где

Как правило, коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена. При достаточно большом объеме совокупности значения данных коэффициентов имеют следующую зависимость:

Связь между признаками можно признать статистически значимой, если значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) (W), который вычисляется по формуле

                                                           (9.51)

где m – число факторов; n – число наблюдений; S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Пример. Определить тесноту связи между уставным капиталом, числом выставленных акций и числом занятых на предприятиях, выставивших акции на чековые аукционы в 1998 г. (табл. 9.16).

Таблица 9.16

Расчет коэффициента конкордации (данные условные)

Значимость коэффициента конкордации проверяется на основе χ² – критерия Пирсона:

                                                  (9.52)

Для нашего примера:

Расчетное значение  больше  (α = 0,05 ν = n – 1 = 9), что подтверждает незначимость коэффициента конкордации и свидетельствует о слабой связи между рассматриваемыми признаками.

В случае наличия связных рангов коэффициент конкордации определяется по формуле

                                               (9.53)

где  t_j – количество связных рангов по отдельным показателям.

Проверка значимости осуществляется по формуле

                                                      (9.54)

Коэффициент конкордации принимает любые значения в интервале [–1; 1].

Преимуществом ранговых коэффициентов корреляции Спирмена, Кендалла и конкордации является то, что с их помощью можно измерять и оценивать связи как между количественными, так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.