Методы выявления периодической компоненты. Модели сезонных колебаний

 

Для проверки предположения о существенности периодической компоненты ряда динамики целесообразно использовать такие критерии случайности, которые имеют наибольшую мощность относительно альтернативной гипотезы о цикличности ряда. Наиболее простым для применения и зрительно понятным является критерии «пиков» и «ям». В основе этого критерия лежит подсчет числа экстремальных точек ряда р, который осуществляется следующим образом:

,

где p_t =

t = 1+ n;

n – число наблюдений в ряду динамики.

Для случайного ряда математическое ожидание числа экстремальных точек

.

Проверка гипотезы сводится к сравнению  с расчетным значением . Если эти значения близки, то можно отказаться от дальнейшей проверки и признать ряд случайным. Если же  и  значительно отличаются друг от друга, то производится дальнейшая проверка гипотезы, основанная на подсчете фаз различной длины.

Фазой называется интервал между двумя соседними уровнями, для которых p_t = 1. Для определения длины фазы е достаточно просто найти разности индексов двух соседних экстремальных точек. Затем подсчитывается число фаз N₁, N₂, N₃ длин е₁ = 1, е₂ = 2, е₃ = 3. Теоретическое значение числа фаз длины е для случайного ряда следующее:

(10.41)

Естественная процедура проверки случайности сводится к сравнению наблюдаемых значений N₁, N₂, N₃ с теоретическим значением N_e. Однако при небольшом числе наблюдений n критерий χ² здесь непосредственно использовать нельзя, так как в этом случае длины фаз e_i не являются независимыми. Доказано, что при разбиении длины фазы на три группы: е₁ = 1, е₂ = 2, е₃ = 3 (две степени свободы) – статистика χ² может быть использована в обычной форме (V = 2,5) при χ² = 6,3. Расчетные значения χ² в случае трех групп длин фазы определяются по формуле

(10.42)

Если χ² ≥ 6,3, то колебания исходного ряда нельзя считать чисто случайными и ряд содержит периодическую составляющую. Этот критерий весьма чувствителен к периодическим колебаниям и имеет практически нулевую эффективность относительно альтернативы наличия тренда, поэтому он может применяться непосредственно к исходному ряду динамики в отличие от других критериев, которые требуют, чтобы из ряда динамики предварительно была выделена систематическая составляющая. После того как установлена периодическая составляющая, производится ее анализ.

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания», или «сезонные волны», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности ( I_s). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или, переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколько лет (не менее трех) используют для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Для вычисления индексов сезонности применяются различные методы (табл. 10.15). Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за три года ( ), затем из них вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда ( ), и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т. е.

(10.43)

Пример расчета индексов сезонности покажем на месячных данных о внутригодовой динамике числа браков, расторгнутых населением города за 1996 – 1998 гг., представленных в табл. 10.13.

Таблица 10.13

Динамика браков, расторгнутых населением города, и расчет индексов сезонности

 

Месяц	Число расторгнутых браков				Индекс сезонности ( : )100,%
	2008	2009	2010	в среднем за три года
А	1	2	3	4	5
Январь	195	158	144	165,7	122,4
Февраль	164	141	136	147,0	108,6
Март	153	153	146	150,7	111,3
Апрель	136	140	132	136,0	100,4
Май	136	136	136	136,0	100,4
Июнь	123	129	125	125,7	92,8
Июль	126	128	124	126,0	93,1
Август	121	122	119	120,7	89,1
Сентябрь	118	118	118	118,0	87,2
Октябрь	126	130	128	128,0	94,5
Ноябрь	129	131	135	131,7	97,3
Декабрь	138	141	139	139,3	102,9
Средний уровень ряда	138,77	135,6	131,8	=135,4	100,0

 

По данным табл. 10.13 вычислим усредненные значения уровней по одноименным периодам способом средней арифметической простой;

январь: ;

февраль:  и т.д. (гр. 4 табл. 10.13)

Затем по вычисленным помесячным средним уровням ( ) ч определим общий средний уровень ( ):

или

где m – число лет;  – сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

Далее рассчитаем по месяцам года индексы сезонности:

январь: ;

февраль:  и т. д. (гр. 5 табл. 10.13).

Совокупность исчисленных индексов сезонности характеризует сезонную волну развития числа браков, расторгнутых населением города, во внутригодовой динамике. Для наглядного получения представления о сезонной волне желательно изобразить полученные данные в виде линейной диаграммы.

Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитие, то, прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий (табл. 10.14):

по соответствующему полиному вычисляются для каждого месяца (квартала) выравненные уровни на момент времени (t) (гр. 2);

определяются отношения фактических месячных (квартальных) данных ( ) к соответствующим выравненным данным ( ) в процентах (гр. 3)

;

находятся средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах (гр. 4):

,

где n – число одноименных периодов.

Таблица 10.14

Динамика поквартальной продажи безалкогольных напитков в одной из республик за 2008 – 2010 гг. и расчет сезонной волны

 

Год и квартал	Млн. дкл	Теоретические уровни = 88,3 + 0,13t	Индекс сезонности по каждому кварталу года ( : )100,%	Индекс сезонности по одноименным кварталам
А	1	2	3	4
2008
I	58,4	86,2	67,8	67,6
II	125,6	86,6	145,0	140,4
III	108,1	87,0	124,3	121,7
IV	60,8	87,3	69,6	70,3
2009
I	57,7	87,7	65,8	67,6
II	115,4	88,1	131,0	140,4
III	103,9	88,5	117,4	121,7
IV	60,6	88,9	68,2	70,3
2010
I	61,8	89,2	69,3	67,6
II	130,2	89,7	145,2	140,4
III	111,0	90,0	123,3	121,7
IV	66,1	90,4	73,1	70,3
Итого	1059,6	1059,6	1200	1200

 

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:

(10.44)

Расчет заканчивается проверкой правильности вычислений индексов. Так как средний индекс сезонности для всех месяцев (кварталов) должен быть 100%, то сумма полученных индексов по месячным данным равна 1200, а сумма по четырем кварталам – 400.

В результате проведенных расчетов в табл. 10.14 получили ряд индексов (гр. 4), характеризующих сезонную волну продажи безалкогольных напитков (в процентах к среднегодовой продаже, принятой за 100%) по кварталам.

В табл. 10.15 дается классификация наиболее распространенных методов измерения сезонных волн.

Таблица 10.15

Классификация методов измерения сезонных волн

 

Методы измерения сезонных волн, основанные на применении	Наименование методов вычисления сезонных волн
I. Средней арифметической	1. Метод абсолютных разностей
	2. Метод отношений средних помесячных к средней за весь период
	3. Метод отношений помесячных уровней к средней данного года
II. Относительных величин	1. Метод относительных величин
	2. Метод относительных величин на основе медианы
	3. Метод У. Персона (цепной метод)
Ш. Механического выравнивания	1. Метод скользящих средних
	2. Метод скользящих сумм и скользящих средних
IV. Аналитического выравнивания	1. Выравнивание по прямой
	2. Выравнивание по параболе и экспоненте
	3. Выравнивание по ряду Фурье

 

Подобно сезонной компоненте ряда динамики циклическая компонента также представляет собой волнообразные движения (на графике), но она более продолжительна и менее предсказуема, чем сезонные колебания. Сущность классического метода устранения циклической компоненты ряда динамики заключается в исключении (или в усреднении) основной тенденции и сезонной компоненты из ряда динамики, так как при этом остается циклическая, и, как правило, нерегулярная компонента. Поскольку эти компоненты составляют то, что, остается, после подобных расчетов, этот метод называется, остаточным.

Экономисты уделяют большое внимание анализу деловых циклов и их причинам, но мы не ставим своей целью рассмотрение многочисленных теорий этого анализа.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. В чем состоит отличие между функциональной и стохастической связью?
2. Дайте определение статистической связи.
3. Что представляет собой корреляционная связь?
4. Дайте определение статистической модели.
5. Что характеризуют коэффициенты регрессии?
6. Какими показателями измеряется теснота корреляционной связи?
7. Что из себя представляет уравнение регрессии?
8. Какими методами определяются параметры уравнения регрессии?
9. В чем смысл и назначение линейных коэффициентов корреляции и детерминации.
10. Какой экономический смысл имеют коэффициенты эластичности, ßi - , ∆i – коэффициенты?
11. Дайте определение ряда динамики. Из каких элементов он состоит и каков их смысл?
12. Какие существуют виды рядов динамики?
13. Какие динамические ряды называются моментными, и почему их уровни нельзя суммировать?
14. Что характеризуют показатели абсолютного прироста, и как они исчисляются?
15. Что представляет собой темп роста? Как он исчисляется?
16. Что представляют собой коэффициенты опережения, ускорения и замедления?
17. В чем сущность метода укрупнения интервалов, и для чего он применяется?
18. Как производится сглаживание рядов динамики способом скользящей средней?
19. Что такое экстраполяция рядов динамики?

Тесты к разделу

По направлению связи бывают:

умеренные;

прямые;

прямолинейные.

По аналитическому выражению связи различаются:

обратные;

тесные;

криволинейные.

Функциональной является связь:

между двумя признаками;

при которой определенному значению факторного признака соответствует несколько значений результативного признака;

при которой определенному значению факторного признака соответствует одно значение результативного признака.

Аналитическое выражение связи определяется с помощью методов анализа:

корреляционного;

регрессионного;

группировок.

Анализ тесноты и направления связей двух признаков осуществляется на основе:

парного коэффициента корреляции;

частного коэффициента корреляции;

множественного коэффициента корреляции.

6. Динамикой в статистике принято называть:

а) процесс развития, движения социально-экономических явлений в пространстве;

б) процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени;

в) процесс развития, движения социально-экономических явлений.

7. Ряд динамики характеризует:

а) структуру совокупности по какому-либо признаку;

б) изменение характеристики совокупности в пространстве;

в) изменение характеристики совокупности во времени.

8. Какой показатель ряда динамики характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени:

а) абсолютный прирост;

б) темп роста;

в) темп прироста.

9. Какой показатель ряда динамики характеризует интенсивность изменения уровня ряда:

а) абсолютный прирост;

б) темп роста;

в) темп прироста.

10. Средний уровень интервального ряда динамики определяется как:

а) средняя арифметическая;

б) средняя гармоническая;

в) средняя хронологическая.