Показатели изменения уровней ряда динамики

Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей, которые получаются в результате сравнения уровней между собой. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым производят сравнение, – базисным.

Абсолютный прирост (∆у) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста:

,

(10.1)

где i = 1, 2, 3, ..., n.

Если k = 1, то уровень у_i-k является предыдущим для данного ряда, а абсолютные приросты изменения уровня будут цепными. Если же k постоянно для данного ряда, то абсолютные приросты будут базисными.

Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчетного уровня к базисному, которое всегда представляет собой положительное число.

Показатель интенсивности изменения уровня ряда в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста или темпом роста. Иными словами, коэффициент роста и темп роста представляют собой две формы выражения интенсивности изменения уровня. Однако необходимо отметить, что не нужно пользоваться одновременно двумя формами, которые по существу идентичны. Разница между ними заключается только в единице измерения.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы). В качестве базисного уровня в зависимости от цели исследования может приниматься какой-то постоянный для всех уровень (часто начальный уровень ряда) либо для каждого последующего предшествующий ему:

или .

(10.2)

В первом случае говорят о базисных темпах роста, во втором – о цепных темпах роста.

Наряду с темпом роста можно рассчитать показатель темпа прироста, характеризующий относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня.

Темп прироста есть отношение абсолютного прироста к уровню ряда, принятого за базу:

.

(10.3)

Если темп роста всегда положительное число, то темп прироста может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

В статистической практике часто вместо расчета и анализа темпов роста и прироста рассматривают абсолютное значение одного процента прироста. Оно представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время – отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста:

,

(10.3)

где |%| – обозначение абсолютного значения 1% прироста.

Абсолютное значение одного процента прироста служит косвенной мерой базисного уровня и вместе с темпом прироста позволяет рассчитать абсолютный прирост уровня за рассматриваемый период.

Абсолютным ускорением в статистике называется разность между последующим и предыдущим абсолютными приростами (∆'= ∆у_i – ∆у_i-1). Ускорение показывает, насколько данная скорость больше (меньше) предыдущей.

Таким образом, абсолютное ускорение есть скорость изменения скорости. Оно может быть положительным и отрицательным числом.

Относительным ускорением называется отношение абсолютного ускорения к абсолютному приросту, принятому за базу (∆'/ ∆у_i), т. е. относительное ускорение есть темп прироста абсолютного прироста. Оно вычисляется лишь в том случае, если абсолютный прирост, принятый за базу сравнения, число положительное. Например, для ряда 30, 33, 35, 39, 44 абсолютные приросты составят 3, 2, 4, 5; абсолютные ускорения – 1, 2, 1; относительные ускорения (– )∙100 = –33,3%; ∙100 = 100%; ∙100 = 25%

Для иллюстраций расчетов рассмотренных статистических показателей приведем следующий ряд динамики в табл. 10.5.

Таблица 10.5

Динамика производства газа в регионе за 2004 – 2008 гг. (цифры условные)

Средний уровень ряда динамики ( ) рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени.

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны. Дня интервальных рядов с равноотстоящими уровнями средний уровень находится по формуле средней арифметической простой, а для неравноотстоящих уровней – по средней арифметической взвешенной:

	(10.5)
	(10.6)

где у_i – уровень ряда динамики; n – число уровней; t_i – длительность интервала времени между уровнями/

Так, в табл. 10.5 приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. По этим данным можно рассчитать среднегодовой уровень производства газа за 2004 – 2008 гг. Он будет равен 347 млн. м3, т. е. =1735 / 5.

Средний уровень моментного ряда динамики так исчислять нельзя, так как отдельные уровни содержат элементы повторного счета. Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической:

или .

(10.7)

Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

,

(10.8)

где у_i, у_n – уровни рядов динамики; t_i – длительность интервала времени между уровнями.

Покажем расчет среднего уровня моментного ряда динамики. Например, если известны товарные остатки магазина на 1-е число каждого месяца (тыс. руб.) на:

то среднемесячный товарный остаток за I квартал по формуле (10.7) составит:

тыс. руб.

Этот же показатель можно получить иначе. При вычислении среднего уровня моментного ряда условно предполагается непрерывное, равномерное изменение уровня в промежутках между двумя датами. Основываясь на этом предположении, определим средние товарные остатки магазина на каждый месяц как полусумму остатков на начало и конец месяца. Средние товарные остатки за месяц:

тыс. руб.

тыс. руб.

тыс. руб.

Среднемесячный товарный остаток магазина за I квартал в данном случае определяется как простая средняя арифметическая:

тыс. руб.

Другой пример. Известна списочная численность рабочих организации на некоторые даты 2010 г. (человек) на:

Среднегодовая численность работников за 2010 г. по формуле (10,8) составит:

 человека

Обобщающим показателем скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост ( ).

Этот показатель дает возможность установить, насколько в среднем за единицу времени должен увеличиваться уровень ряда (в абсолютном выражении), чтобы, отправляясь от начального уровня за данное число периодов (например, лет), достигнуть конечного уровня. Определяющим свойством интересующего нас показателя среднего абсолютного прироста при такой постановке задачи является общий абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд динамики Для его определения воспользуемся формулой средней арифметической простой:

или .

(10.9)

Так, для условий нашего примера (см, табл. 10.2) средний абсолютный прирост равен 29,5 млн. м³ [(407 – 289)/4].

Возможен и другой способ расчета среднего абсолютного прироста исходя из кумулятивных данных;

.

(10.10)

Обе формулы применяются в зависимости от цели исследования.

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста, показывающий, во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда.

Необходимость исчисления среднего темпа роста возникает вследствие того, что темпы роста из года в год колеблются. Кроме того, средний темп роста часто следует определить в тех случаях, когда имеются данные об уровне в начале какого-либо периода и в конце его, а промежуточные данные отсутствуют. Такого рода средний темп роста можно исчислить, если положить в основу расчетов рост не в арифметической прогрессии, которая характеризуется постоянной разностью, а геометрической (a, aq, aq²,.... aqⁿ), характеризующейся постоянным отношением, называемым знаменателем прогрессии (q). Следовательно, вопрос состоит в том, чтобы найти этот знаменатель. Знаменатель геометрической прогрессии (q) определяется делением последующего уровня прогрессии на его предыдущий. При делении n-го уровня на первый получаем:

,

отсюда следует:

,

(10.11)

где В₁ = а – первый член прогрессии.

Зная q, мы точно можем определить, какую тенденцию развития явления имеет геометрическая последовательность. Формула (10.11) является средней геометрической и применяется в случае, когда определяющий показатель является не суммой значений, а их произведением. Следовательно, если варианты связаны между собой не знаком сложения, а знаком произведения, нужно вычислить среднюю геометрическую. Обычно средний темп роста вычисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

.

(10.12)

Например, средний темп роста производства газа за 2004 – 2008 гг. (табл. 10.5)

 или 108,9%.

Поскольку всякий темп роста является отношением уровней ряда динамики, так что , … в формуле средней геометрической темпы роста заменяются соответствующим отношением уровней. Заменив темпы роста выражающими их отношениями и учитывая, что эти величины перемножаются, найдем подкоренное выражение

.

Следовательно, средний темп роста может быть выражен формулой

.

(10.13)

Продолжим расчеты (см. табл. 10.5). Средний темп роста производства газа за 2004 – 2008 гг. по данной формуле будет равен:

 или 108,9%

При расчете средних темпов роста по периодам различной продолжительности (разноотстоящие ряды динамики) пользуются средними геометрическими взвешенными по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид:

,

(10.14)

где t – интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста; Σt – сумма отрезков времени периода.

Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо вначале найти средний темп роста, а затем уменьшить его на единицу, или 100%.

.

(10.15)

Для проведения глубокого анализа динамики социально-экономических явлений следует параллельно использовать показатели скорости и интенсивности изменения уровней. Анализ, основанный на использовании какого-либо одного из этих показателей, неизбежно будет иметь односторонний характер.