Относительный экстремум. Метод множителей Лагранжа

2.1 Метод исключения. Рассмотрим теперь задачу на относительный экстремум. Как мы видели в § 1, решение задачи об отыскании экстремумов функции п переменных f (х) на всем пространстве Е_п может быть сведено с по­мощью необходимых условий к решению системы уравнений (4), в результате чего определяются стационарные точки функции f ( x ). Оказывается, что аналогичное сведе­ние возможно и для задачи отыскания экстремумов функ­ции f ( x ) при наличии ограничений типа равенств

g_i ( x ) = 0, i = 1, 2, ..., т.                            (10)

Условия (10) принято еще называть уравнениями связи.

Точку х, удовлетворяющую условиям (10), будем называть допустимой.

Определение . Допустимая точка  доставляет относительный локальный минимум функции f (х), если можно указать такое число , что для всех х, удов­летворяющих уравнениям связи (10) и условию ||х - ||< , имеет место неравенство

.

Рассмотрим случай, когда уравнения связи (10) могут быть разрешены относительно части переменных. Будем предполагать, что функции g_i ( x ), i=l,..., т,имеют в окрестности рассматриваемой допустимой точки  непре­рывные частные производные по всем аргументам до вто­рого порядка включительно и, кроме того, ранг матрицы Якоби для функций g_i ( x ), i = l, ...,m, рассматриваемой в точке ,равен т.Не нарушая общности, предположим, что отличен от нуля определитель (якобиан), составленный из частных производных по первым т аргументам, т. е.

                                         (11)

Тогда по теореме о неявных функциях в некоторой окре­стности точки  система уравнений (10) разрешима отно­сительно х¹, ..., х^т,т. е. представима в виде

 j =1, 2, …, m ,                         (12)

где - непрерывно дифференцируемые в рассматриваемой окрестности функции. Переменные х^т+1,..., х^п естественно назвать «независимыми», в отличие от «зави­симых»— x¹, ..., х^т. Подставляя выражения (12) в функ­цию f ( x ), получим задачу отыскания безусловного экстре­мума функции п — т переменных

.

Однако провести исключение части компонент вектора х обычно бывает трудно или даже невозможно. Поэтому мы используем другой путь определения точки ,который не предполагает наличия явных выражений типа (12), хотя использует существенно условие (11).

 

2.2 Метод множителей Лагранжа. Как мы видели в за­мечании к теореме 2, в точке , доставляющей безу­словный экстремум функции, ее полный дифференциал равен нулю, т. е.

              (13)

где dx^j, j=1, ..., m, — дифференциалы «зависимых» пере­менных, связанные с дифференциалами «независимых» пере­менных dx^k , k = m +1, ..., n, следующим образом:

 i = l, …, m .           (14)

 

Метод Лагранжа состоит из следующих этапов:

1) составляется функция п+т переменных, которая называется функцией Лагранжа:

                            (15)

2) вычисляются и приравниваются нулю ее частные производные по х и :

j =1, 2, …, n ,                  (16) 

       i =1, 2, …, m ,

 

3) решается система (16) п+т уравнений относи­тельно п+т неизвестных x¹, ..., х^п, ₁, ..., _т .

Система уравнений (16) представляет собой необхо­димые условия первого порядка в задаче на относитель­ный экстремум, а ее решения ¹, ..., ^п принято называть условно-стационарными точками. Как и в случае задач на безусловный экстремум, необходимые условия первого порядка не определяют характера условно-стационарной точки. Для выяснения этого вопроса следует привлечь производные более высоких порядков функций f (х) и g ( x ).

Заметим, что требова­ние неравенства нулю якобиана (11) является су­щественным.

Пример 1. Условие (11) может быть не выполнено, если решение задачи на относительный экстремум реали­зуется, например, в точке касания  поверхностей ограни­чений (10) (начало координат на рис. 1).

Рис. 1

Пусть

п = 2,   т = 2,  f (х) = х²,

,

.

Допустимая точка должна одновременно удовлетворять уравнениям g ₁ ( x ) = 0, g ₂ ( x ) = 0 и является единственной: х¹=0, x² = 0. Очевидно, что точка ¹=0, ²=0 и будет решением задачи на относительный минимум функции f (х) = x² при ограничениях g ₁ ( x ) = g ₂ ( x ) = 0. Составим для этой задачи функцию Лагранжа:

Метод множителей Лагранжа приводит к уравнениям

Этим уравнениям точка относительного минимума ¹=0, ²=0не удовлетворяет ни при каких значениях ₁, ₂,т. е. в данном случае метод множителей Лагранжа не работает.

Пример 2.Пусть

п = 2,   т = 2,  f (х) = х² min,

g ( x )= х²-( x ¹ )².

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

Соответственно, правило множителей Лагранжа приво­дит к уравнениям

решением которых будет , ¹=0, ²=0. Чтобы понять, доставляет точка =0 относительный минимум функции f (х) илинет, надо выяснить характер поведения квадратичной формы

на прямой

.

При , как функция одной переменной , эта форма положительно определена. Значит, в точке =0 имеем относительный минимум.

 

2.3 Седловая точка функции Лагранжа. Рассмотрим функцию двух переменных z = Ф(х, у),где х, y —скаляры или векторы.

Определение. Назовем пару {х*, y *} седловой точкой функции Ф (х, у), если для любых х, y справедливо неравенство

                      (17)

Очевидно, что неравенство (17) эквивалентно выражению

Снова рассмотрим задачу отыскания относительного экстремума функции f ( x ) при ограничениях g ( x ) = 0. Не­обходимые условия экстремума (3.10) можно записать в виде

                      (18)

т. е. пара  является стационарной точкой функции Лагранжа

Однако в этой точке функция  не может достигать максимума или минимума по х и  одновременно. В самом деле, пусть в точке  достигается максимум функции  по х и . Так как условия связи в точке  выполнены, то  Пусть, далее, в некоторой точке  нарушено одно из ограничений, например  Тогда в силу линейности функции L по  мы можем за счет выбора  добиться бесконечно большого значения L (число  имеет знак, противоположный знаку g_k ( x )). Следовательно, в точке  функция Лагранжа не может иметь максимума по . Аналогично можно показать, что в точке  не может одновременно достигаться мини­мум функции Лагранжа по х и .

Покажем теперь, что в точке  достигается либо , либо    в зависимости от того, является   точкой максимума или минимума. В самом деле, при каждом фиксированном х

Следовательно,

где

Таким образом, по х и   функция Лагранжа имеет экстремум противоположного характера. Если при этом оказывается, что

то точка , по определению, является седловой точ­кой функции Лагранжа.

 

Пример 3. Исследуем на экстремум функцию

.

Решение. Координаты x , y , z критической точки гладкой функции u  должны удовлетворять системе:

или

Отсюда получаем пять критических точек:

, , , , .

Исследуем поведение функции u в стационарных точках с помощью достаточного условия экстремума:

Отсюда получаем . Так как  является отрицательно определенной квадратичной формой, то в точке  функция u имеет строгий локальный максимум.

Для анализа квадратичной формы

Применим критерий Сильвестра. Матрица этой формы:

.

Её главные миноры:

2>0;

Распределение знаков этих миноров показывает, что данная квадратичная форма знакопеременная, следовательно, в точке М₁ функция u не имеет экстремума: точка М₁ есть седловая точка функции u .

Точно так же устанавливается, что точки М₂, М₃, М₄ также седловые точки функции u .