Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Интерполяция сплайнами




Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Повышение точности приближения гладкой функции благодаря увеличению степени интерполяционного многочлена возможно, но связано с существенным повышением сложности вычисления. К тому же использование многочленов высокой степени требует специальных мер предосторожности уже при выборе формы их записи, и вычисления сопровождаются накоплением ошибок округления.

Поэтому на практике предпочитают кусочно-полиномиальную интерполяцию с использованием многочленов невысокой степени. Однако этот способ приближения имеет недостаток: в точках "стыка" двух соседних многочленов производная, как правило, имеет разрыв. Часто это обстоятельство не играет существенной роли. Вместе с тем нередко требуется, чтобы аппроксимирующая функция была гладкой и тогда простейшая кусочно-полиномиальная интерполяция становится неприемлемой.

Естественная потребность в наличии аппроксимирующих функций, которые сочетали бы в себе локальную простоту многочлена невысокой степени и глобальную на всем отрезке [a, b] гладкость, привела к появлению в 1946 г. так называемых сплайн - функций или сплайнов - специальным образом построенных гладких кусочно-многочленных функций. Получив в 60-х годах распространение как средство интерполяции сложных кривых, сплайны к настоящему времени стали важной составной частью самых различных вычислительных методов, и нашли широчайшее применение в решении разнообразных научно-технических и инженерных задач.



Дадим строгое определение сплайна. Пусть отрезок [a, b] разбит точками  на n частичных отрезков . Сплайном степени т называется функция , обладающая следующими свойствами:

функция  непрерывна на отрезке [a, b] вместе со всеми своими производными до некоторого порядка р,

на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.

Разность т - р между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a, b] производной называется дефектом сплайна.

Простейший пример сплайна дает непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок 13), являющаяся сплайном первой степени (линейным сплайном) с дефектом, равным единице. Действительно, на отрезке [a, b] сама функция  (нулевая производная) непрерывна. В то же время на каждом частичном отрезке совпадает с некоторым многочленом первой степени.

 

Рисунок 13 - Кусочно-линейная функция

 

Наиболее широкое распространение на практике получили сплайны третьей степени (кубические сплайны) с дефектом, равным 1 или 2. Такие сплайны на каждом из частичных отрезков [ ] совпадают с кубическим многочленом:

 

 

и имеют на отрезке [a, b] по крайней мере одну непрерывную производную .

Формула кубического сплайна:

 

 

Полученный кубический сплайн в этом случае, очевидно, что не прерывен с первой производной, но непрерывность второй производной не гарантируется, т.е. дефект интерполяционного сплайна = 2. Если этот сплайн имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a, b], т.е. имеет дефект 1, то такой сплайн носит название глобального.

Для построения глобального сплайна, т.е. сплайна с дефектом 1, необходимо начинать со второго узла, поставить условия непрерывности второй производной, т.е. вторая производная при подходе к точке 2 и дальше с лева (х1-0) должен равняться второй производной при подходе справа (х1+0). Такие равенства можем составить для всех внутренних узлов начиная с х1 до хn-1. Затем используем условия на края х0 и хn. Получим систему уравнений, которые и обеспечат дефект 1.

 

 

Очевидно, что при наличии S3 на соответствующих узлах, построение таких равенств не представляет особого труда.

 

 

Прировняв эти значения для определения m получим СЛАУ.

 

 

В двух крайних точках определяется i производных

Если функция задана ввиде таблиц, то для вычисления производныхиспользуеться результаты полученные при численном диференцировании порядок точности которых не ниже 3-ей степени.

 




Читайте также:
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (130)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.007 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7