Интерполяция сплайнами

Повышение точности приближения гладкой функции благодаря увеличению степени интерполяционного многочлена возможно, но связано с существенным повышением сложности вычисления. К тому же использование многочленов высокой степени требует специальных мер предосторожности уже при выборе формы их записи, и вычисления сопровождаются накоплением ошибок округления.

Поэтому на практике предпочитают кусочно-полиномиальную интерполяцию с использованием многочленов невысокой степени. Однако этот способ приближения имеет недостаток: в точках "стыка" двух соседних многочленов производная, как правило, имеет разрыв. Часто это обстоятельство не играет существенной роли. Вместе с тем нередко требуется, чтобы аппроксимирующая функция была гладкой и тогда простейшая кусочно-полиномиальная интерполяция становится неприемлемой.

Естественная потребность в наличии аппроксимирующих функций, которые сочетали бы в себе локальную простоту многочлена невысокой степени и глобальную на всем отрезке [a, b] гладкость, привела к появлению в 1946 г. так называемых сплайн - функций или сплайнов - специальным образом построенных гладких кусочно-многочленных функций. Получив в 60-х годах распространение как средство интерполяции сложных кривых, сплайны к настоящему времени стали важной составной частью самых различных вычислительных методов, и нашли широчайшее применение в решении разнообразных научно-технических и инженерных задач.

Дадим строгое определение сплайна. Пусть отрезок [a, b] разбит точками  на n частичных отрезков . Сплайном степени т называется функция , обладающая следующими свойствами:

функция  непрерывна на отрезке [a, b] вместе со всеми своими производными до некоторого порядка р,

на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.

Разность т - р между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a, b] производной называется дефектом сплайна.

Простейший пример сплайна дает непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок 13), являющаяся сплайном первой степени (линейным сплайном) с дефектом, равным единице. Действительно, на отрезке [a, b] сама функция  (нулевая производная) непрерывна. В то же время на каждом частичном отрезке совпадает с некоторым многочленом первой степени.

Рисунок 13 - Кусочно-линейная функция

Наиболее широкое распространение на практике получили сплайны третьей степени (кубические сплайны) с дефектом, равным 1 или 2. Такие сплайны на каждом из частичных отрезков [ ] совпадают с кубическим многочленом:

и имеют на отрезке [a, b] по крайней мере одну непрерывную производную .

Формула кубического сплайна:

Полученный кубический сплайн в этом случае, очевидно, что не прерывен с первой производной, но непрерывность второй производной не гарантируется, т.е. дефект интерполяционного сплайна = 2. Если этот сплайн имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a, b], т.е. имеет дефект 1, то такой сплайн носит название глобального.

Для построения глобального сплайна, т.е. сплайна с дефектом 1, необходимо начинать со второго узла, поставить условия непрерывности второй производной, т.е. вторая производная при подходе к точке 2 и дальше с лева (х1-0) должен равняться второй производной при подходе справа (х1+0). Такие равенства можем составить для всех внутренних узлов начиная с х1 до хn-1. Затем используем условия на края х0 и хn. Получим систему уравнений, которые и обеспечат дефект 1.

Очевидно, что при наличии S3 на соответствующих узлах, построение таких равенств не представляет особого труда.

Прировняв эти значения для определения m получим СЛАУ.

В двух крайних точках определяется i производных

Если функция задана ввиде таблиц, то для вычисления производныхиспользуеться результаты полученные при численном диференцировании порядок точности которых не ниже 3-ей степени.