Математическая модель влияния рекламы на капитал компании при продаже однородного товара

 

При планировании рекламной кампании торговой марки «Победа», для определения влияния рекламы на капитал компании, использовались методы математического моделирования. Рассмотрим подробнее модель, которая использовалась.

АО «Кондитерская фабрика «Победа»» имеет в распоряжении неограниченное количество шоколадной продукции. Необходимо реализовать товар за время T и получить как можно больше капитала. Следовательно, компания будет характеризоваться величиной S(t) - капитал, которым обладает компания в момент t. Будем считать, что компания за время [t;t+Δt] несет расходы [c0+c1S(t)]. Величина c0 описывает постоянные расходы, связанные с расходами на аренду, свет и т.д., а величина c1 показывает расходы, связанные с обслуживанием капитала, например, налоги. Кроме того, будем считать, что за время [t;t+Δt] часть капитала αS(t)Δt выделяется на рекламу. Введем величину R(t) - функцию эффективности рекламы. Ее влияние проявляется в том, что поток покупателей является пуассоновским потоком с интенсивностью (l0+l1R(t)), где l0 определяет интенсивность потока покупателей без потока. Тогда изменения капитала за период времени Dt будут следующими:

1. Происходит продажа товара на сумму x - случайной величины с функцией распределения F(x) с вероятностью (l0+l1R(t)) Dt .

2. Ничего не происходит.

Поэтому изменения капитала DS(t) за момент времени Dt составят величину. Следовательно, за Dt S(t+Dt)=S(t)+ DS(t). Усредним последнее выражение M{S(t+Dt)}=M{S(t)}+M{DS(t)}.

Так как процесс покупок случаен, то величина S(t) есть случайный процесс, а следовательно, и степень влияния рекламы становится случайным процессом, поскольку на рекламу выделяется доля капитала αS(t)Δt.

Обозначим M{S(t)}=S1(t), M{R(t)}=R1(t), M{x}=a1.

Переносим в правую часть S1(t) и делим выражение на Dt.

Усредним DtR0. Получим

Рассмотрим изменение функции эффективности рекламы за Dt.

Будем считать, что на влияние рекламы R(t) действуют два процесса: а) процесс увеличения R(t), обусловленный вложением в рекламу капитала αS(t)Δt и б) процесс забывания рекламы, пропорциональный самой R(t). Поэтому

,

где коэффициент v определяет скорость забывания рекламы, а b - степень влияния денег, вкладываемых в рекламу. Усредняя, получим

или после обычных преобразований

Получили систему дифференциальных уравнений. Поскольку нашей задачей является получение максимального капитала в конечный момент времени Т, то с учетом введенных обозначений функционал будет иметь вид S1(t) => max. Для решения этой задачи используем принцип Лагранжа-Понтрягина. Функционал примет вид -S1(t) => min.

Введем вектор Ψ=(ΨS,ΨR), с помощью которого построим функцию Гамильтона.

Используя принцип максимума, получим, что существует вектор Ψ*=(ΨS*,ΨR*) такой, что где (S1 *(t), R1*(t)) - оптимальный процесс.

Тогда для всех 0≤t≤T выполняются следующие условия

Следовательно, получим условия трансверсальности

Допустим, что α: 0≤ α ≤ α0.

Тогда с учетом вида выражения (2)

 

Итак, система дифференциальных уравнений для S(t),R(t) ΨS(t), ΨR(t) имеет вид

 

 

Рассмотрим случай α = 0, что приводит нас к однородной линейной системе четвертого порядка. Система легко разрешается, и ее решение имеет вид

 

 

Теперь рассмотрим случай, когда α = α0. В данной ситуации получаем неоднородную систему дифференциальных уравнений четвертого порядка, разрешая которую, получим

Здесь K1, K2, F1, F2 - константы, а

 

С учетом выражения (2)

приходим к тому, что управление рекламой будет следующим

 

I этап. α = 0, следовательно, R(t) ≡ 0, так как рекламы нет, из чего вытекает, что никакой эффективности рекламы, соответственно, нет.

Произвольно зададим начальные условия S1(t)=S0. Тогда решение (7) будет иметь константы вида

   На I этапе решение системы (6) будет иметь вид

 

II этап. T0 - момент "включения" рекламы. Обозначим Sα(t) как функцию капитала, где α ≠ 0, соответственно, Rα(t), ΨSα(t), ΨRα(t), а S0(t) - случай, где α = 0, соответственно, R0(t), ΨS0(t), ΨR0(t). Учтем, что данные значения рассматриваются как средние.

Тогда временная ось разбивается на две области: первая - без использования рекламы, а вторая - с использованием.

Для нахождения решения с учетом последнего потребуются условия "сшивания"

 

В полученном решении перейдем к единому времени, заменив t на (t - T0). Используем явный вид функций из (8), (10). Тогда решение после II-го этапа

 

Определим явный вид констант. Система (11) достаточно просто разрешается. Поэтому сразу выпишем решение. Константы будут иметь вид

 

 

 

III этап. T1 - момент "отключения" рекламы α=0, но R(t)≠0. С этого момента начинается последействие рекламы.

Теперь же условия сшивания примут вид

Для представления системы в явном виде используем (12) и (10). Введем символы с волной, это означает, что базовый вид функций берется из выражения (10), но константы будут зависеть от D3 и D4, которые не определены после первого этапа.

В полученном решении перейдем к единому времени, и тогда переменную t заменим на (t-T1). Система(14) достаточно просто разрешается

 

Решение после III этапа

Здесь константы из (15). Рассмотрим последние два выражения с учетом трансверсальности

 

Перепишем последнюю систему с учетом выражений для констант (15) и (16).

 

 

Рассмотрим ΨSα (T1) и ΨRα(T1) с учетом выражения (12). Получим следующую систему уравнений

 

 

Выражения при константах собраны, поэтому можно получить явный вид D3, D4, но вид их крайне сложен. В результате проделанных вычислений получаем, что функция капитала компании, которая в своей деятельности использует рекламу, будет иметь вид (16) с соответствующими константами из (15) и (17) с учетом (12).