Теоретическое рассмотрение сверхбыстрой многоцветной записи динамических голограмм в кристалле с квадратичной нелинейностью

Ю.Н. Денисюк, В.Н. Сизов, Д.И. Стаселько

Предположим, что согласно рис.1 на границу G¢ среды, характеризующейся нелинейностью второго порядка, падают распространяющиеся в воздухе две плоских волны W_O и W_R  с различными круговыми частотами w _O и w _R, волновыми векторами K₀^’ и K _R ^’ , и их модулями (или волновыми числами в радианах на см, в дальнейшем просто волновыми числами) определяемыми известными выражениями

                                                                                              (1) ,

                                                                                              (2) ,

где K _O ^’ и K _R ^’ - значения волновых чисел объектной и референтной волн вне нелинейной среды,  n _О  и n _R - частоты волн W_O и W_R, выраженные в обратных сантиметрах, С – скорость света в воздухе.

Рис. 1. Схема взаимодействия волн с волновыми векторами k_i при записи многочастотных голограмм в квадратичных нелинейных средах.

       Ограничиваясь скалярным приближением и максимально упрощая модель квадратичной нелинейной среды, будем считать эти волны поляризованными перпендикулярно плоскости рисунка, а среду предельно тонкой. Такой подход позволяет для случая тонких кристаллов количественно проанализировать трансформационные свойства динамических c⁽²⁾-голограмм. Предположим, что слаборасходящаяся объектная волна, характеризуемая усредненным по направлениям вектором K₀^’ распространяется вблизи нормали к поверхности G¢ модельной нелинейной cреды Н, характеризуемой также усредненной скалярной квадратичной восприимчивостью c⁽²⁾, а референтная плоская волна с волновым вектором K _R ^’ распространяется под некоторым углом a к этой поверхности (см.рис.1). Внутри среды Н первоначальные значения волновых чисел K _O ^’ и K _R ^’ меняются в соответствии с показателем преломления среды. Учитывая, что различие частот w _О и w _R объектной и референтной волн относительно невелико, а также пренебрегая анизотропией показателя преломления среды, примем, что он для этих волн одинаков и равен n _w . Тогда значения волновых чисел K _O и K _R взаимодействующих в среде волн W_O и W_R можно записать как:

K₀= n _w K₀^’ , K_R = n _w K_R^’                                                                            (3),

где n _w » n _{w O} » n _{w R} .

       Согласно рис.1. волновой вектор K₀внутри среды Н не изменит своего направления и будет распространяться вдоль нормали к границе среды G¢. Референтная волна W_R , испытав преломление на границе G¢ , будет распространяться под углом b к нормали :

,                                                                                                     (4)

       Для упрощения дальнейших расчетов приведем значение угла a, использованного в эксперименте, а также величину показателя преломления нелинейного кристалла КТР, в котором записывались голограммы:

a = 14°30¢ = 0,2518 рад.                                                                                    (5)

n _w = 1,83.                                                                                                             (6)

Из соотношений (5,6) следует, что при проведении вычислений можно пренебречь отличием синусов углов b и b/2 от значений этих углов, выраженных в радианах.

       Перейдем к рассмотрению волнового поля, восстановленного голограммой. Значения электрических полей объектной волны E_O (r,t) и референтной волны E_R(r,t), интерферирующих в нелинейной среде голограммы, согласно [15] запишем в следующем виде:

       E₀ (r,t) = A₀(r,t)expi(K₀r + w ₀ t)                                           (7)

       E_R (r,t) = A_R expi(K_Rr + w _R t)                                                        (8),

где амплитуда объектной волны А₀(r) представляет собой медленно меняющуюся функцию координат. Суммарное значение волнового поля, воздействующего на нелинейную среду Н, найдем, складывая E_O (r,t) и E_R (r,t)

E_S (r,t) = .E_O (r,t) + E_R (r,t)                                                                                  (9).

В результате взаимодействия суммарного волнового поля E_S с нелинейной средой в среде наводится поляризация, нелинейная часть которой определяется соотношением:

(r,t) = c⁽²⁾ E_S (r,t) E_S (r,t)                                                                          (10),

где c⁽²⁾ — квадратичная нелинейная поляризуемость среды, ответственная за рассматриваемое взаимодействие волн.

       После подстановки (9) в (10) получим выражение для (r,t), состоящее из трех членов. Восстановленная голограммой объектная волна генерируется составляющей поляризации, которой соответствует перекрестный член полученного выражения:

P_NL⁺ (r,t)=A_RA₀(r)expi[(K₀+K_R)r + (w ₀ + w _R)t] .                                           (11)

Из выражения (11) следует, что волна поляризации представляет собою пространственную решетку, имеющую вид слоистой системы изофазных поверхностей перпендикулярных к вектору решетки K_g (см. рис.1)

K_g = K ₀+K_R.                                                                                                  (12)                 

Частота колебаний поляризации в каждой точке решетки равна сумме частот интерферирующих волн. Такая поляризация является источником вторичных волн, электрическое поле которых E_g пропорционально второй производной по времени от величины поляризации:

.                                                                                            (13)

Подставляя (11) в (13), находим:

E_g(r,t) ~ A_RA ₀ (r)expi[K_gor + (w ₀ + w _R)t] ,                                                    (14)

где E_g(r,t)- значение электрического поля, генерируемого в каждой точке нелинейной среды в результате воздействия полей E_O (r,t) и E_R (r,t) согласно выражениям (7) и (8).

       В свою очередь колебания, возникшие таким образом в каждой точке среды, являются источником вторичных волн. Суммируясь, эти волны создают поле, свободно распространяющееся в нелинейной среде. Волновой вектор K _S генерируемых изофазными поверхностями волн коллинеарен вектору K_g [см. выражение (12)]; его модуль определяется частотой колебаний электрического поля w _О + w _R :

K _S = (w _О + w _R)/c = K ₀ + K_R       ,                                                                       (15)

K _S = (K ₀ + K_R )(K ₀ + K_R)/|(K ₀ + K_R )| .                                                         (16)             Учитывая выражения (15) и (16), электрическое поле E_H восстановленной голограммой объектной волны можно описать следующим выражением:

E_H(r,t) = A_RA₀(r)expi[K _S r + (w ₀ + w _R)t] .                                                    (17)

       Сравнивая выражение (14) для волнового поля E_g(r,t), генерируемого в каждой точке голограммы с выражением (17), описывающим свободно распространяющееся поле E_H(r,t), генерируемое каждой изофазной поверхностью, нетрудно заметить, что эти волны рассогласованы по фазе [сравни выражения (12), (16), (17)]. При этом имеет место неравенство:     

K_g < K _S.                                                                                                      (18)

Такое фазовое рассогласование ведет к деструктивной интерференции генерируемых разными изофазными поверхностями волн и, в конечном итоге, к уменьшению амплитуды суммарной волны, формируемой голограммой. Эффект фазового рассогласования полей можно компенсировать, используя различие в зависимости скорости света для обыкновенного и необыкновенного лучей от направления их распространения в анизотропных кристаллах (как одноосных, так и двухосных), что позволяет достичь выполнения условия фазового синхронизма и максимальной эффективности преобразования по частоте мощности падающего на голограмму излучения [11]. Однако при дальнейшем рассмотрении мы пренебрежем эффектом фазового рассогласования, учитывая, что в условиях нашего эксперимента угол между интерферирующими волнами, а также различие их частот и толщина голограммы были малы, а использованный в эксперименте для записи голограмм кристалл КТР характеризуется большой шириной углового и спектрального синхронизма.

       Взаимное расположение волновых векторов волн, взаимодействующих с голограммой , представлено на рис.1. для двух случаев: когда w _О = w _R , и когда w _О w _R, Волновые  векторы соответствующих этим частотам объектных пучков в объеме голограммы изображены здесь как K ₀₀ и K _01. Остановимся сначала на рассмотрении случая равенства частот объектной и референтной волн [5]. При этом волновой вектор объектной волны и соответствующий ему отрезок b—d на рис. 1 равен по своей абсолютной величине модулю волнового вектора референтной волны K_R (отрезок a—b на рис.1.) Складываясь, векторы K ₀₀ и K_R образуют суммарный вектор решетки (отрезок a—d), вдоль которого распространяется волна с удвоенной частотой 2w. Тогда согласно рис.1, генерируемая средой волна K _{S 0} распространяется вдоль биссектрисы угла b, составленного волновыми векторами объектной и референтной волн K ₀₀ и K_R (вдоль отрезка a-d на рис.1.).

       Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда круговая частота объектной волны w _O1 и модуль K ₀₁ отличаются от соответствующих параметров w _R и K_R референтной волны:

K_R - K ₀₁= DK_{S 1},                                                                                           (19)

.                                                                                              (20)

Волновой вектор K_{g 1} решетки изофазных поверхностей голограммы определяется в этом случае выражением, аналогичным (12) и (14):

K_{g 1} = K ₀₁ +K_R.                                                                                              (21)                 

Как это видно из рис.1, суммарный вектор K_{g 1} (отрезок a-c) отклоняется в этом случае на некоторый угол Db от вектора, который направлен вдоль биссектрисы (отрезок a-d) угла между векторами K ₀₀ и K_R. Определим угол Db, являющийся углом между волной , восстановленной голограммой в случае, когда K ₀ = K_R (удвоение частоты при неколлинеарном взаимодействии) и волной, восстановленной в случае, когда частота w _O1 объектной волны меньше на величину Dw ₀₁ частоты w_R референтной волны. Рассмотрим с этой целью треугольник cdf (см. рис.1). Учитывая, что угол b/2 мал, можно записать следующие соотношения:

(f-d) » (c-d); (c-f) » (c-d) × b/2 ,

(a-d) » 2 K_R; (a-f) » 2 K_R - (f-d)                                                                    (22).

Из рис.1. следует, что искомый угол Db равен :

.                                                                                                  (23)

Учитывая малость угла b/2, величину отрезка (c-d) можно определить как:

 ( c - d ) = K_R  - K_O1 = DK_O1.                                                                              (24)

Находя с помощью соотношений (22) и (24) величины отрезков (c-f) и (a-f) и подставляя результат в соотношение (23), находим, что:

Db = (b/2) DK_{S 1} /(2 K_R  - DK_O1).                                                                   (25)

Используя соотношения (2) и (3), выражение (25) можно записать как:

,                                                                                   (26)

где D n _O1 = n _R – n _O1 - разность частот референтной и объектной волн, выраженная в обратных сантиметрах, что удобно для последующего сопоставления теории и эксперимента. Выражение (26) определяет приращение Db угла направления распространения излучения b внутри голограммы в зависимости от приращения частоты объектной волны Dn _O1 .

       Перейдем теперь к рассмотрению значений углов, измеряемых вне голограммы. Угол распространения референтной волны W_R в голограмме b связан с углом ее падения a на переднюю поверхность голограммы G¢ простым соотношением, справедливым для малых значений   этих углов:

,                                                                                                                  (27).

       Рассматривая процесс выхода излучения через заднюю поверхность голограммы G² (см. рис.1.) необходимо учитывать, что в результате нелинейного преобразования длина волны излучения, распространяющегося в среде, уменьшается практически в 2 раза, что приводит к заметному изменению показателя преломления, характеризуемому для кристалла КТР значениями n _w  = 1,83 и n_{2 w} = 1,89. Угол преломления генерируемой голограммой объектной волны с частотой 2n _R – Dn _O1 при ее прохождении через заднюю поверхность G² определяется следующим очевидным соотношением:

( b + Db ) n_{2 w} = b ¢ + Db ¢ ,                                                                                   (28)

где b и b ¢ — углы к нормали в среде и в воздухе волны, генерируемой голограммой в случае n _R=n _O , D b и Db ¢ — приращения углов b и b ¢ при n _O1 ¹ n _R (см. (26)).

       Углы b и b ¢ характеризуют прохождение через границу G² волны с удвоенной частотой 2n _R и должны подчиняться закону Снеллиуса независимо от соотношения (28), т.е.:

b n_{2 w} = b ¢                                                                                                           (29) .

Из соотношений (28) и (29) следует:

n _w Db = Db ¢ .                                                                                                      (30)

Подставляя в выражение (25) значения b из выражения (27) и Db из (30), получим окончательно:

,                                                                       (31)

где Db ¢ — угол между лучами K ^” _{S 0} и K ^” _{S 1}, восстановленными голограммой при n _O  = n _R и в случае, когда частота объектной волны меньше частоты референтной волны на величину Dn _O1.  

Литература

1. Денисюк Ю.Н., Стаселько Д.И. Докл. АН СССР. 1967. Т.176. №6. С.1274-1275.

2. Денисюк Ю.Н., Стаселько Д.И., Минина В.П. ОМП, 1968, №11, С.73-74

3. Денисюк Ю.Н., Андреони А., Бондани М., Потенца М. Опт. и Спектр., 2000, T.89, №1. С.125-133.

4. Midwinter J.E.. Appl. Phys. Letters, 1968, V.12, p. 68-70.

5. Стаселько Д.И., Денисюк Ю.Н., Сизов В.Н. Опт. и Спектр., 2002, T.93, №3. С. 500-512.