МЕТОД КООРДИНАТ. ОСОНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

 

Задачи на прямой линии

 

Ось координат

Прямую линию с указанием начала отсчета, положительного направления отсчета и масштаба назовем осью координат.

 

Рис.1

Координаты прямая плоскость вектор

Направленный отрезок

Отрезок на оси называется направленным, если известно, какая из точек отрезка является началом, а какая концом отрезка.

С каждым направленным отрезком связаны две числовые характеристики: длина отрезка и величина (разницу между этими характеристиками необходимо четко представлять, поскольку непонимание имеющейся разниы приводит к путанице и ошибкам при решении задач).

Величина отрезка

Величина отрезка может быть как положительной, так и отрицательной: если направление отрезка противоположно положительному направлению оси, то его величина отрицательна; если направление отрезка сонаправлено с положительным направлением оси, то его величина положительна.

Длина отрезка

Длина отрезка всегда положительна и равно абсолютному значению (модулю) величины отрезка.

Обозначения: величина - ; длина - .

Основное геометрическое тождество

При любом взаимном расположении несовпадающих точек А, В и С выполняется тождество

Координата точки на прямой

Если всю ось обозначить Ох, а через x₁ – величину отрезка Оx₁, то точка А, находящаяся в точке x₁, (Рис.2) будет иметь координату x₁: А(x₁).

 

Рис.2

В аналитической геометрии точка считается заданной, если заданы ее координаты.

Расстояние между точками на прямой

Пусть заданы точки М(x₁) и М(x₂), тогда расстояние между ними определяется как

 

 

Из координат конца вычитаются координаты начала отрезка, а результат берется по абсолютной величине.

Пример 1 (расстояние между точками на прямой)

 

Найти расстояние между точками М₁(- 2) и М₂(3) (Рис.3).

 

Рис.3

Решение:

В нашем случае x₁ = - 2, x₂ = 3, откуда

Т.е. длина отрезка Обратите внимание: здесь и далее длины и площади измеряются или в единицах, или в единицах в квадрате (аналитическая геометрия знает, что такое единица длины и понятия не имеет ни о метрах, ни о дюймах!).

Задачи на плоскости

Прямоугольная декартова система координат

Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные оси координат, точкой пересечения которых является точка начала отсчета и определено, какая из осей является первой, а какая второй, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат (далее для ее названия будем использовать аббревиатуру – ПДСК)

Рис.4