Уравнение прямой на плоскости

Угловой коэффициент

Угловым коэффициентом k для прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой по отношению к оси Ox (см. Рис.9)

Рис.9

Напомним правило отсчета углов в аналитической геометрии: все углы отсчитываются от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.

С учетом сказанного

k = tg(α),

или, если прямая проходит через точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂)

откуда может быть получено

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть точка M(x; y) принадлежит прямой, а b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox (Рис. 10), тогда из определения углового коэффициента получаем (убедитесь самостоятельно) уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = b + k∙x.

Рис.10

Эта форма уравнения прямой, очевидно, наиболее часто употребляется в различных приложениях, поскольку она очень наглядна и легко анализируема.

Пример 6 (уравнение прямой с угловым коэффициентом)

Представить эскизы прямых:

1) y = 2 + 3x;

2) y = - 2 + 3x:

3) y = - 2 – 3x:

4) y = 2 – 3x.

Решение:

Прямая №1 пересекает ось Oy в точке 2, коэффициент при x (он равен +3)– больше нуля, следовательно, эта прямая является функцией возрастающей.

Прямая № 2 пересекает ось Oy в точке - 2, коэффициент при x (он равен +3)– больше нуля, следовательно, эта прямая является функцией возрастающей.

Прямая № 3 пересекает ось Oy в точке - 2, коэффициент при x (он равен - 3) – меньше нуля, следовательно, эта прямая является функцией убывающей.

Прямая № 4 пересекает ось Oy в точке 2, коэффициент при x (он равен - 3) – меньше нуля, следовательно, эта прямая является функцией убывающей. (см. Рис. 11)

Рис.11

Как видно из примера, уравнение прямой с угловым коэффициентом позволяет мгновенно сказать возрастает или убывает данная функция. Если угловой коэффициент больше нуля (положителен), то функция возрастает, если меньше нуля (отрицателен), то убывает. Более того, эта форма уравнения прямой сказать, какая функция возрастает быстрее: чем больше значение углового коэффициента, тем быстрее функция возрастает – см. Пример 7.

Пример 7 (сравнение скорости возрастания функций)

Две прямые заданы своими уравнениями:

1) y = 3 + 10x и 2) y = 3 + 2x.

Какая из данных прямых возрастает быстрее и почему? Представить эскиз обеих прямых.

Решение: быстрее возрастает прямая № 1, потому что ее угловой коэффициент (10) больше, чем угловой коэффициент примой № 2 (2).

Эскиз прямых представлен на рисунке 12.

Рис.12

Методы получения уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть прямая проходит через две данные точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂), тогда для нахождения уравнения прямой используется выражение