Пример 9 (о нахождении проекции точки на прямую)

Найти проекцию точки Р(4; 9) на прямую, проходящую через точки А(3; 1) и В(5; 2).

Решение:

Прежде всего: найти проекцию точки, это значит найти координаты «тени» этой точки на прямую.

Задача решается в три шага:

- находится уравнение прямой, проходящей через точки А и В;

- находится уравнение прямой, проходящей через точку Р, перпендикулярно прямой АВ;

- находятся координаты точки пересечения прямой, проходящей через точку Р и прямую АВ.

Шаг 1

Уравнение прямой АВ ищем посредством выражения для нахождения уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

Шаг 2

Искомая прямая проходит через точку Р(4; 9) с угловым коэффициентом, определяемым из условия перпендикулярности прямых (поскольку точка, являющаяся проекцией точки Р на прямую АВ есть результат пересечения прямой перпендикулярной прямой АВ, проходящей через точку Р).

Тогда угловой коэффициент искомой прямой k:

и, используя выражение для нахождения уравнения прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

y – 9 = -2∙(x – 4) → y = - 2∙x + 17.

Т.о., искомая прямая определяется уравнением

y = - 2∙x + 17.

Шаг 3

Проекцию точки Р на прямую АВ находим как результата пересечения найденной прямой и прямой АВ

,

Решая полученную систему окончательно находим ответ:

координаты точки пересечения (7; 3).

Другие формы уравнения прямой

Общее уравнение прямой

Общим уравнением прямой называется уравнение вида

A∙x + B∙y + C = 0.

«Общим» это уравнение называется потому, что из него можно получить все три формы уравнения прямой.

Так, например можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом:

т.е., в этом случае угловой коэффициент  .

Общее уравнение прямой потому и называется «общим», что из него можно получить не только уравнение с угловым коэффициентом, но и еще две формы уравнения прямой, каждая из которых оказывается полезной при решении своего класса задач.

Итак, пусть дано общее уравнение прямой

A∙x + B∙y + C = 0,

причем , тогда

вводя обозначения

откуда окончательно получаем

Уравнение прямой в отрезках

где a и b – величины отрезков (откуда и название!), отсекаемых прямой соответственно на оси Ox и оси Oy (cм. Рис.15).

Рис.15

Нормальное уравнение прямой

Рассмотрим рисунок 16

Рис.16

На рисунке – отрезок ОР – нормаль (откуда и название – «нормальное уравнение прямой») проведенная из начала координат до пересечения с прямой (угол ОРВ – прямой); угол α образован нормалью к прямой и положительным направлением оси Ox; длина отрезка ОР = р.

Тогда нормальное уравнение прямой имеет вид