Модели сезонной компоненты

Сезонный эффект во временном ряде проявляется на «фоне» тренда и его выделение оказывается возможным после предварительной оценки тренда. (Здесь не рассматриваются методы спектрального анализа, позволяющего выделить вклад сезонной компоненты в спектр без вычисления других компонент ряда). Действительно, линейно растущий ряд помесячных данных будет иметь схожие эффекты в одноименных точках – наименьшее значение в январе и наибольшее в декабре; однако вряд ли здесь уместно говорить о сезонном эффекте: исключив линейный тренд, мы получим ряд, в котором сезонность полностью отсутствует. В то же время ряд, описывающий помесячные объемы продаж новогодних открыток, хотя и будет иметь такую же особенность (минимум продаж в январе и максимум в декабре) будет носить скорее всего колебательный характер относительно тренда, что позволяет специфицировать эти колебания как сезонный эффект.

В простейшем случае сезонный эффект может проявляться в виде строго периодической зависимости.

, для любого t, где t - период сезонности.

В общем случае значения, отстоящие на t могут быть связаны функциональной зависимостью, то есть

.

К примеру, сезонный эффект сам может содержать трендовую составляющую, отражающую изменение амплитуды колебаний .

Если сезонный эффект входит в ряд аддитивно, то модель сезонного эффекта можно записать как

,

где  - булевы, иначе индикаторные, переменные, по одной на каждый такт внутри периода t сезонности. Так, для ряда месячных данных =0 для всех t , кроме января каждого года, для которого =1 и так далее. Коэффициент  при  показывает отклонение январских значений от тренда, - отклонение февральских значений и так далее до . Чтобы снять неоднозначность в значениях коэффициентов сезонности , вводят дополнительное ограничение, так называемое условие репараметризации, обычно

.

В том случае, когда сезонный эффект носит мультипликативный характер, то есть

модель ряда с использованием индикаторных переменных можно записать в виде

Коэффициенты , в этой модели принято называть сезонными индексами.

Для полностью мультипликативного ряда

обычно проводят процедуру линеаризации операцией логарифмирования

.

Условимся называть представленные модели сезонного эффекта «индикаторными». Если сезонный эффект достаточно «гладкий» – близок к гармонике, используют «гармоническое» представление

,

где d - амплитуда, w - условия частоты (в радианах в единицу времени), a - фаза волны. Поскольку фаза обычно заранее неизвестна. Последнее выражение записывают как

,

где , .

Параметры А и В можно оценить с помощью обычно регрессии. Угловая частота w считается известной. Если качество подгонки окажется неудовлетворительным, наряду с гармоникой w основной волны в модель включают дополнительно первую гармонику (с удвоенной основной частотой 2w), при необходимости и вторую и так далее гармоники. В принципе, из двух представлений: индикаторного и гармоничного – следует выбирать то, которое потребует меньшего числа параметров.

Модель интервенции

Интервенция, представляющая собой воздействие, существенно превышающее флуктуации ряда, может носить характер «импульса» или «ступеньки».

Импульсное воздействие кратковременно: начавшись, оно почти тут же заканчивается. Ступенчатое воздействие длительно, носит устойчивый характер. Обобщенная модель интервенции имеет вид

,

где - значение детерминированной компоненты ряда, описываемой как интервенция;

 - коэффициенты типа авторегрессии;

 - коэффициенты типа скользящего среднего;

- экзогенная переменная одного из двух типов;

 («ступень»), или  («импульс»)

где  -- фиксированный момент времени, называемый моментом интервенции.