Модели случайной составляющей временного ряда
линейный ряд временной система Для удобства изложения условимся обозначать здесь случайные величины так, как это принято в математической статистике – строчными буквами. Случайным процессом X ( t ) на множестве Т называют функцию, значения которой случайны при каждом t Î T. Если элементы Т счетные (дискретное время), то случайный процесс часто называют случайной последовательностью. Полное математическое описание случайного процесса предполагает задание системы функций распределения: – для каждого t Î T , (1) – для каждой пары элементов
(2)
и вообще для любого конечного числа элементов
(3).
Функции (1),(2),(3) называют конечномерными распределениями случайного процесса. Построить такую систему функции для произвольного случайного процесса практически невозможно. Обычно случайные процессы задают с помощью априорных предположений о его свойствах, таких как независимость приращений, марковский характер траекторий и т. п. Процесс, у которого все конечномерные распределения нормальны, называется нормальным (гауссовским). Оказывается, что для полного описания такого процесса достаточно знания одно- и двумерного распределений (1), (2), что важно с практической точки зрения, поскольку позволяет ограничиться исследованием математического ожидания и корреляционной функцией процесса. В теории временных рядов используются ряд моделей случайной составляющей, начиная от простейшей – «белого шума», до весьма сложных типа авторегрессии – скользящего среднего и других, которые строятся на базе белого шума. Прежде чем определять процесс белого шума рассмотрим последовательность независимых случайных величин, для которой функция распределения есть
.
Из последнего соотношения следует, что все конечномерные распределения последовательности определяются с помощью одномерных распределений. Если к тому же в такой последовательности составляющие ее случайные величины X(t) имеют нулевое математическое ожидание и распределены одинаково при всех t Î T, то это – «белый шум». В случая нормальности распределения X(t) говорят о гауссовском белом шуме. Итак, гауссовский белый шум – последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и одинаковой (общей) дисперсией. Более сложными моделями, широко используемыми в теории и практике анализа временных рядов, являются линейные модели: процессы скользящего среднего, авторегрессии и смешанные. Процесс скользящего среднего порядка q представляет собой взвешенную сумму случайных возмущений: (4),
где – независимые одинаково распределенные случайные величины (белый шум); – числовые коэффициенты.
Легко видеть из определения, что у процесса скользящего среднего порядка q (сокращенно CC(q)) статистически зависимыми являются (q+1) подряд идущих величин X(t), X(t-1),..., X(t - q). Члены ряда, отстоящие друг от друга больше чем на (q+1) такт, статистически независимы, поскольку в их формировании участвуют разные слагаемые . Процессом авторегрессии порядка p (сокращенно АР(р)) называют взвешенную возмущенную сумму p прошлых значений временного ряда
(5),
где – случайное возмущение, действующее в текущий момент t; – числовые коэффициенты.
Выражая последовательно в соответствии с соотношением (5) X(t-1) через X(t-2), . . . , X(t-p-1), затем X(t-2) через X(t-3), . . . , X(t-p-2) и т.д. получим, что X(t) есть бесконечная сумма прошлых возмущений Из этого следует, члены процесса авторегрессии X(t) и X(t-k) статистически зависимы при любом k. Процесс АР(1) часто называют процессом Маркова, АР(2) – процессом Юла. В общем случае марковским называют такой процесс, будущее которого определяется только его состоянием в настоящем и воздействиями на процесс, которые будут оказываться в будущем, тогда как его состояние до настоящего момента при этом несущественно. Процесс АР(1)
является марковским, поскольку его состояние в любой момент определяется через значения процесса , если известна величина в момент . Формально процесс авторегресси произвольного порядка также можно считать марковским, если его состоянием в момент t считать набор
(X(t),X(t-1), . . . , X(t-p-1)) .
Более полно модели СС, АР, а также их композиция: модели авторегрессии – скользящего среднего рассматриваются далее (п.10.1.5 ). Заметим только, что все они представляются частными случаями общей линейной модели
(6)
где – весовые коэффициенты, число которых, вообще-то говоря, бесконечно.
Среди моделей случайной составляющей выделим важный класс – стационарные процессы, такие, свойства которых не меняются во времени. Случайный процесс Y(t) называется стационарным, если для любых n, распределения случайных величин и одинаковы. Иными словами, функции конечномерных распределений не меняются при сдвиге времени: .
Образующие стационарную последовательность случайные величины распределены одинаково, так что определенный выше процесс белого шума является стационарным.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (181)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |