Математический маятник

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити и совершающую колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести

Математический маятник – это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь. Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

При отклонении маятника на угол а из положения равновесия силу тяжести т g можно разложить на составляющие F₁ и F₂, направленные, соответственно, перпендикулярно к нити и вдоль неё. Составляющая F₂ вызывает натяжение нити и уравновешивается силой натяжения Т, составляющая F₁ стремится возвратить маятник в положение равновесия.

Период малых (до 15^о) собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

 {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}} и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

В общем случае период колебания математического маятника задаётся формулой

Физический маятник

Физическим маятником называют абсолютно твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести.

При отклонении маятника на угол а силу т g можно разложить на составляющие F₁ и F₂. F₂ направлена вдоль ОС, она уравновешивается реакцией оси О, составляющая F₁, перпендикулярная ОС, стремится возвратить маятник в положение равновесия.

При малых углах sina=a, поэтому момент инерции при малых углах будет равен M=-mgLa

Знак минус показывает, что сила тяжести препятствует отклонению маятника из положения равновесия, то есть М – возвращающий момент.

Период малых колебаний физическоо маятника равен

, где J – момент инерции маятника относительно оси О.

Приведённая длина

Приведённой длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, имеющего равный период колебаний.

Для нахождения приведённой длины приравняем правые части формул периодов физического и математического маятников:

, откуда

.

Приведённая длина l всегда больше длины физического маятника L .

Точка качания

Точка качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии {\displaystyle l} от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен {\displaystyle I=ml^{2}}, а момент силы тяжести относительно той же оси {\displaystyle -mgl\sin \theta } . Легко заметить, уравнение движения не изменится.

Теорема Гюйгенса

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Резонанс

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина— совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы.

Всякая механическая упругая система имеет собственную частоту колебаний. Если какая-либо сила выведет эту систему из равновесия, а затем перестанет действовать, то система будет некоторое время колебаться около своего положения равновесия. Частота этих колебаний и называется собственной частотой колебаний системы. Скорость её затухания зависит от упругих свойств и массы, от сил трения и не зависит от силы, вызвавшей колебания.

Если сила, выводящая мех систему из равновесия, будет меняться с частотой, равной частоте собственной частотой колебаний, то на деформацию одного периода будет накладываться деформация следующего периода и система будет раскачиваться со всё возрастающей амплитудой, теоретически до бесконечности. Естественно, что конструкция не сможет противостоять такой всё возрастающей деформации и будет разрушаться.

Полный резонанс наблюдается при точном совпадении частоты колебаний силы с частотой собственных колебаний конструкции и равных положительных и отрицательных амплитудах, частичный – при неполном совпадении частот и неравных амплитудах.