Глава II. Тетраэдр в курсе математики средней школы

Сравнительная характеристика изложения темы «тетраэдр» в школьных учебниках

В школьном курсе геометрии на изучение основ темы «Тетраэдр» отводится достаточно много времени. Методических проблем проведения этой темы практически не возникает, так как учащиеся знают, что такое пирамида (в т.ч. и треугольная), как из пропедевтических курсов прежних лет обучения математики, так из жизненного опыта. Правильный тетраэдр ассоциируется с его плоским аналогом - правильным треугольником, а равенство сторон с равенством ребер или граней.

Однако проблемы в изучении темы для учащихся существуют, и разные учебники пытаются решить их разными способами (порядком изложения теоретического материала, уровнем сложности задач и т.п.). Дадим краткую характеристику распространенных учебников геометрии в аспекте изучения тетраэдра.

Изложение темы «Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 10-11 классов Атанасяна Л. С. и др.

В базовом учебнике «Геометрия» для 10-11 классов средней школы Атанасяна Л. С. и др. информацию о тетраэдре можно найти в 7 параграфах (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Авторы учебника определяют тетраэдр как поверхность, составленную из четырёх треугольников. Из теоретической базы учебника для 10 класса можно почерпнуть знания о гранях, рёбрах и вершинах тетраэдра, о построении сечений тетраэдра плоскостью, вычислении площади полной поверхности тетраэдра, в т.ч. и усечённого (глава III, § 2 «Пирамида»).

Далее рассматриваются правильные многогранники и элементы симметрии правильных многогранников. Формула нахождения объёма пирамиды приводится в заключительной главе учебника (глава VII «Объемы тел»).

Теоретический материал учебника изложен компактно и стилистически единообразно. Некоторый теоретический материал расположен в практической части учебника (доказательства некоторых теорем производится в задачах). Практический материал учебника разделён на два уровня сложности (есть т.н. «задачи повышенной трудности», отмеченные специальным символом «*»). Кроме того, в конце учебника есть задачник с задачами высокой сложности, некоторые из которых касаются тетраэдра. Рассмотрим некоторые задачи учебника.

Решение задач.

Задача 1 (№300). В правильной треугольной пирамиде DABC точки E, F и P - середины сторон BC, AB и AD. Определите вид сечения и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна a, боковое ребро равно b.

Решение.

Строим сечение плоскостью, проходящей через точки E, F, P. Проведём среднюю линию треугольника ABC, EF || AC,

EF || AC, а A C лежит в пл. D CA, значит EF || пл. DCA. Плоскость сечения пересечёт грань DCA по прямой PK.

Т.к. плоскость сечения проходит через прямую EF параллельную плоскости DCA и пересекает плоскость DCA, то линия пересечения PK параллельна прямой EF.

Построим в грани BDA отрезок FP, а в грани BDC - отрезок EK. Четырёхугольник EFOK и есть искомое сечение. EF || AC, PK || EF || AC, , , значит .

Т.к. PK || EF и PK = EF, то EFPK - параллелограмм. Таким образом, EK || EP, EP - средняя линия треугольника BCD, .

Угол между скрещивающимися прямыми DB и CA равен 90°. Докажем это. Построим высоту пирамиды DO. Точка O - центр правильного треугольника ABC. Продолжим отрезок BO до пересечения со стороной AC в точке M. В правильном треугольнике ABC: BM - высота, медиана и биссектриса, следовательно . Имеем, что , , тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости , тогда .

Т.к. , PK || CA и EK || BD, то  и EFPK - прямоугольник.

.

Задача 2 (№692).

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами a и b. Каждое её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ. Найдите объём пирамиды

Решение:

ABCD - пирамида, угол ABC - прямоугольный, AC = b, BC = a, углы DAO, DBO, DCO равны . Найдем V_DABC0.

1) ∆DAO=∆ADC=∆DBO по катету и острому углу, значит AO=OC=OB=R окружности, описанной около ∆ABC. Т.к. ∆ABC - прямоугольный, то .

2) Из ∆ DOC : ; .

3) ; ; .