Изложение темы «Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 7-11 классов Погорелова А.В.

В другом базовом учебнике А.В. Погорелова и др.теоретический материал в той или иной степени касающийся темы «Тетраэдр» содержится в пунктах 176-180, 186, 192, 199, 200.

В пункте 180 “Правильные многогранники” содержится определение понятия «правильный тетраэдр» (“Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все рёбра равны”), доказательство некоторых свойств и теорем о пирамиде проиллюстрировано чертежами тетраэдра. Однако в данном учебном пособии акцент на изучении фигуры не ставится, и в этом смысле его информативность (касательно тетраэдра) можно оценить как низкую. Практический же материал учебника содержит удовлетворительное количество заданий, касающихся пирамиды, в основании которой расположен треугольник (что по сути и есть тетраэдр). Приведём примеры решения некоторых задач.

Решение задач.

Задача 1 (№ 41 из пункта «Многогранники»).

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона — 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Проведем перпендикуляр SO к плоскости основания и перпендикуляры SK, SM и SN к сторонам ΔABС. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OK BC, ОМ АС и ON AB.

Тогда, SKO = SMO = SNO = 45° — как линейные углы данных двугранных углов. А следовательно, прямоугольные треугольники SKO, SMO иSNO равны по катету и острому углу. Так что OK=OM=ON, то есть точка О является центром окружности, вписаннойв ΔАВС.

Выразим площадь прямоугольника АВС:

(см)

С другой стороны, . Так что ; ОК=r=3 см. Так как в прямоугольном треугольнике SOK острый угол равен45°, то ΔSOK является равнобедренным и SO=OK=3(см).

Задача 2 (№ 43 из пункта «Объёмы многогранников»).

Найдите объем пирамиды, имеющий основанием треугольник, два угла которого a и β; радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом γ.

Решение.

Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды O₁O проходит через центр описанной около основания окружности. Так что

Далее, в прямоугольном : .

В ΔАВС . Тогда согласно теореме синусов

.

Так что , , =

= .

Площадь треугольника :

.

Тогда .

Изложение темы «Тетраэдр» в учебнике «Геометрия» для 10-11 классов Александрова А.Д.

Рассмотрим учебное пособие Александрова А.Д. и др. «Геометрия: учебник для учащихся 11 кл. с углубленным изучением математики». Отдельных параграфов, посвящённых тетраэдру в этом учебнике нет, однако тема присутствует в виде фрагментов других параграфов.

Впервые тетраэдр упоминается в §21.3. В материале параграфа рассматривается теорема о триангуляции многогранника, в качестве примера выполняют триангуляцию выпуклой пирамиды. Само понятие «многогранник» в учебнике трактуется двумя способами, второе определение понятия напрямую связано с тетраэдром: «Многогранник – это фигура, являющаяся объединением конечного числа тетраэдров…». Познания, касающиеся правильной пирамиды и некоторых аспектов симметрии тетраэдра можно обнаружить в §23.

В §26.2 описано применение теоремы Эйлера («о правильных сетях») для правильных многогранников (в т.ч. для тетраэдра), а в §26.4 рассматриваются виды симметрий, характерные для этих фигур.

Формулу для нахождения объёма пирамиды авторы вводят в задаче №30.1(2), а площадь боковой поверхности пирамиды вводится в материале параграфа «Площадь поверхности конуса и цилиндра» (§32.5).

Также, в учебнике можно найти информацию о средней линии тетраэдра, центре масс (§35.5) и классе равногранных тетраэдров. Движения I и II рода демонстрируются в ходе решения задач о тетраэдрах.

Отличительная особенность учебника — высокая научность, которую авторам удалось совместить с доступным языком и чёткой структурой изложения. Приведём примеры решения некоторых задач.

Решение задач.

Задача 1.

В данную правильную треугольную усечённую пирамиду с боковым ребром a можно поместить сферу, касающуюся всех граней, и сферу, касающуюся всех рёбер. Найдите стороны оснований пирамиды.

Решение.

Изобразим на чертеже «полную» пирамиду. Данная пирамида ,  — высота «полной» пирамиды,  — ее часть до верхнего основания усеченной. Задача сводится к планиметрической, при этом не надо рисовать ни одной из данных сфер. Т.к. в усеченную пирамиду можно вписать сферу, касающуюся всех ребер, то в её боковую грань можно вписать окружность. Обозначим ,  (для удобства деления пополам) и для описанного четырехугольника  получим, что , откуда

. (1)

Из существования вписанного шара следует, что существует полуокружность, расположенная в трапеции  ( — апофема «полной» пирамиды) так, что ее центр лежит в середине , а сама она касается остальных трёх сторон трапеции.

 — центр шара,  и  — точки касания. Тогда . Выразим эти величину через  и . Из : . Из : . Из трапеции : . Получаем уравнение:

.(2)

Решив систему уравнений (1) и (2), получим, что стороны оснований равны .

Задача 2.

Внутри правильного тетраэдра с ребром a расположены четыре равные сферы так, что каждая сфера касается трех других сфер и трех граней тетраэдра. Найти радиус этих сфер.

Решение.

 — данный тетраэдр,  — его высота,  — центры сфер,  — точка пересечения прямой  с плоскостью . Заметим, что центры равных сфер , касающихся плоскости , удалены от нее на равные расстояния, каждое из которых равно радиусу шара (обозначием его как x). Значит плоскости и  параллельны, а потому .

Далее, каждая пара шаров касается между собой, а потому расстояние между центрами равно сумме их радиусов, то есть 2x . Имеем:

. Но как высота правильного тетраэдра с ребром ; как высота правильного тетраэдра с ребром 2x; .

Осталось выразить . Заметим, что точка  находится внутри трехгранного угла и удалена от его граней на расстояние , а плоские углы трехгранного угла равны . Не сложно получить то, что . Приходим к уравнению:

, откуда после упрощений получаем .