Лекция№13.Проверка статистических гипотез о законе распределения генеральной совокупности

      Проверку гипотезы , о том, что генеральная совокупность подчиняется определенному теоретическому закону распределения , осуществляют с помощью критериев согласия. Доля проверки гипотезы выбирают некоторую случайную величину , характеризующую степень расхождения теоретического  и эмпирического  распределения, закон распределения которой при достаточно больших объемах выборки   известен и практически не зависит от закона распределения генеральной совокупности. Зная закон распределения , можно найти вероятность того, что  приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте , т.е. . Если  мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу отвергают. Если же вероятность  не мала, расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением несущественно и гипотезу  можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным.

 Существует несколько критериев согласия: (хи- квадрат) Пирсона, Колмогорова, Смирнова и т.д.

Критерий согласия (хи- квадрат) Пирсона

В наиболее часто используемом на практике критерии - Пирсона в качестве меры расхождения  берется величина , равная относительной сумме квадратов отклонений межу эмпирическими  и теоретическими  частотами попадания в интервалы :

                                      ,

где -число интервалов  эмпирического распределения (вариационного ряда), - объем выборки, - вероятность попадания случайной величины в интервал , вычисленная по закону распределения, соответствующему гипотезе .

Доказано, что при справедливости гипотезы  и при  критерий  имеет - распределение со  степенями свободы, где - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.

Методика применения критерия следующая:

1. Разбиваем всю область наблюдаемых выборочных значений  на  интервалов шириной  и подсчитываем количество выборочных значений , попавших в каждый из этих интервалов. Предполагая, согласно выдвинутой гипотезы, известным теоретический закон распределения  генеральной совокупности определяем вероятность попадания случайной величины в интервал :

                    .

Умножив полученные вероятности на объем выборки , получаем теоретические частоты попадания в интервалы и рассчитываем меру расхождения между частотами .

2.Для выбранного уровня значимости  по таблице - распределения находим критическое значение  при числе степеней свободы .

3. Если фактически наблюдаемое значение  больше критического, т.е. , то гипотеза отвергается, если , гипотеза не противоречит опытным данным.

Следует отметить, что критерий  имеет закон распределения лишь при . Поэтому этот критерий нельзя применять при малых объемах выборок. Поэтому необходимо чтобы в каждом интервале было не менее 5-10 выборочных значений, а весь объем выборки был порядка сотен.