Проверка гипотез о равенстве средних значений при известной и неизвестной дисперсии.

Имеются две генеральные совокупности  и с известными дисперсиями и . Необходимо проверит гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. : . Для проверки этой гипотезы взяты две независимые выборки объемами  и , по которым найдены средние арифметические и . В качестве критерия принимаем нормированную разность между и :

                                   .

Поскольку , то критерий при известных генеральных дисперсиях будет равен:

При выполнении гипотезы  критерий  при больших объемах выборок или при малых, при условии, что генеральные совокупности  и подчиняются нормальному закону, так же будет подчиняться нормальному закону  с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Поэтому, например, при конкурирующей гипотезе , выбирают двухстороннюю критическую область. Критическое значение критерия выбираем из условия:

                                               .

Если фактически наблюдаемое значение критерия  по абсолютному значению больше критического , определенного на уровне значимости , т.е. , то гипотеза отвергается.

Если , то делаем вывод, что нулевая гипотеза  не противоречит имеющимся наблюдениям.

При неизвестных генеральных дисперсиях и , но они равны, т.е. , то в качестве неизвестной величины  можно взять ее оценку – «исправленную» выборочную дисперсию:

                или .

Однако лучшей оценкой дисперсии разности независимых выборочных средних  будет дисперсия смешанной совокупности  :

                              .

В этом случае критерий вычисляем по выражению:

                     .

Доказано, что в случае критерий   имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы. Поэтому критическое значение критерия  находится в зависимости от типа критической области по функции  распределения Стьюдента, т.е. .

При этом сохраняется тоже правило принятия гипотезы: гипотеза отвергается на уровне значимости , если   и принимается, если , т.е. с надежностью можно считать расхождение средних значений незначимым.

В случае невозможности наложения допущения о равенстве генеральных дисперсий задача не имеет точного решения (пока) – это проблема Беренса-Фишера.

Рассмотренные критерии можно применять для исключения грубых ошибок при проведении наблюдений.

Например, если в ряде наблюдений , - резко отличается, то справедливость гипотезы :  о принадлежности  к остальным наблюдениям проверяем по критерию:

                                                  ,

где - средняя арифметическая, -«исправленное» среднее квадратическое отклонении ряда наблюдений . При справедливости  критерий должен подчиняться так же закону распределения Стьюдента со степенью свободы . При конкурирующей гипотезе или , т.е. является ли резко выделяющееся значение меньше или больше остальных наблюдений находится по функции  распределения Стьюдента при условии, что . Если , то гипотеза принимается. При условии , гипотеза отвергается.