Лекция 11. Связь между генеральной и выборочной совокупностью.

Понятие генеральной совокупности в определенном смысле аналогично понятию случайной величины (закону распределения, вероятностному пространству). Выборку можно рассматривать, как некий эмпирический аналог генеральной совокупности.

Средние арифметические распределения признака в генеральной и выборочной совокупностях называются соответственно  генеральной и выборочной средними.

Дисперсии этих распределений называют генеральной и выборочной дисперсиями.

Отношение числа элементов  генеральной и выборочной совокупностей, обладающих некоторым признаком , к их объемам, называются соответственно генеральной  и выборочной долями .

В случае бесконечной генеральной совокупности (  под генеральной средней и дисперсией понимаются соответственно математической ожидание и дисперсия распределение признака (генеральной совокупности), а под генеральной долей - вероятность данного события.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о свойствах генеральной совокупности в целом.

Чтобы по данным выборки можно было достоверно судить о генеральной совокупности, выборочная совокупность должна быть отобрана случайно (т.е. по схеме случая или «урн»). При случайном отборе используют два способа образования выборки:

· Повторный отбор, когда каждый элемент, отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран;

· Бесповторный отбор, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

Оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности  называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной , с помощью которой судят о значении параметра . Оценка в отличие от оцениваемого параметра является случайной величиной, зависящей от закона распределения и числа (объема выборки).

В качестве оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

    Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка параметра называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

                   или .

Оценка  параметра  называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема .

  Оценки можно находить методами моментов, максимального правдоподобия и наименьших квадратов.

Согласно методу моментов, определенное количество выборочных моментов (начальных или центральный ) приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения (  и ) случайной величины .

Основы метода наибольшего правдоподобия составляют функции правдоподобия, выражающая плотность вероятности совместного появления результатов выборки :

    .

Согласно метода наибольшего правдоподобия в качестве оценки неизвестного параметра принимается такое значение , которое максимизирует функцию  :

                                       или

Метод наименьших квадратов предусматривает определение оценки из условий минимизации квадратов отклонений выборочных данных  от определяемой оценки :

                                         .

 Точечная и интервальная оценка.

 Оценка неизвестного параметра  генеральной совокупности одним числом  называют точечной: = .

Выборочная доля   является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , дисперсия которой для повторной выборки равна:

                            ,

а для бесповторной:

Выборочная средняя  есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , дисперсия которой для повторной выборки рана:

                                   ,

а для бесповторной:

                                .

Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии , так как

                                  .

Не смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии  является исправленная выборочная дисперсия

                             .

Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал , который с заданной вероятностью накрывает неизвестной значение параметра . Такой интервал называют доверительным, а вероятность  - доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Наиболее часто доверительный интервал выбирают симметричным относительно параметра :

                           ,

где наибольшее отклонение оценки  от параметра генеральной совокупности , возможное с вероятностью  и называется предельной ошибкой выборки.              

При заданной доверительной вероятности  и большом объемы выборке, ее предельная ошибка оценки генеральной средней и генеральной доли равна -кратной величине средней квадратической ошибки или средним квадратическим отклонениям выборочной средней и выборочной доли :

                   и , ,

где -функция (интеграл вероятностей) Лапласа.

Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли равны:

                                     ;

                                     ,

где и  в зависимости от типа отбора (повторный или бесповторный) определяем по формулам:

· Для повторного отбора:

                и ;

· Для бесповторного отбора:

                        и .