Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

                                        ,

Где -значение исследуемой переменной, полученной на -м уровне фактора ( ) с -м порядковым номером ( );

      - общая средняя;

    - эффект, обусловленный влиянием -го уровня фактора, т.е. вариация переменной между отдельными уровнями фактора;

     -случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариация переменной внутри отдельного уровня фактора.

    Под уровнем фактора понимается некоторая его мера или состояние, например номер партии детали, количество вносимых удобрений и т.п.

    Проверим существенность влияния № партий изделий на их качество. Пусть имеется партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно  изделий (положим, что ). Значения показателей качества этих изделий представим в виде матрицы (или таблицы):

  Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения (реализации) случайных величин , выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическим ожиданием соответственно  и одинаковыми дисперсиями , то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы : .

  Предположим, что для каждой -ой партии( -го уровня фактора) из изделий имеем средний показатель качества , равный сумме общего среднего  и ее вариации , обусловленной -ым уровнем фактора:

                                            ,

называемая группой средней для -го уровня фактора.

Очевидно, что оценкой  является средняя арифметическая из  изделий -ой партии ( -го уровня фактора):

                                          .

  Оценкой общего среднего  является средняя арифметическая всей совокупности показателей качества:

                               .

Рассмотрим сумму квадратов отклонений  от общей средней  в виде :

Или :

где - сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая  (факторная) сумма квадратов отклонений;

  - сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении общей суммы квадратов отклонений  заключенная основная идея дисперсионного анализа: общая вариация показателя качества, измеренная суммой , складывается из двух компонент - и , характеризующих изменчивость этого показателя между партиями  ( ) под воздействием изучаемого фактора и изменчивость «внутри» партий ( ) под воздействием всех других неучтенных факторов. В дисперсионном анализе изменчивость показателя оценивается не по суммам квадратов отклонений, а по выборочным дисперсиям , которые являются несмещенными оценками соответствующих дисперсий генеральных совокупностей:

                                     ,

                                    ,

где и - получили название межгрупповой и внутригрупповой дисперсиями.

Доказано, что, если влияние всех уровней фактора  на показатели качества (для нашего примера) одинаково, то . Иными словами, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии являются несмещенными оценками общей дисперсии генеральной совокупности и проверка нулевой гипотезы  сводится к проверки . Для этого вычисляется критерий (статистика):

                                                      .

При правильности нулевой гипотезы критерий должен подчиняться закону распределения Фишера со степенями свободы и . Поэтому при заданном уровне значимости  критическое значение критерия находим по таблицам  закона распределения Фишера.

  Если , то нулевая гипотеза отвергается и делается заключение о существенности влияния фактора  на случайную величину.

  При  нет оснований отвергать гипотезу  и считают, что влияние фактора несущественно.

  Кроме того, по величине отношения  судят, насколько сильно проявляется влияние фактора.

Для упрощения расчетов сумм квадратов  удобно пользоваться следующими формулами, которые позволяют предварительно не находить средние значения и :

             , .