Влияние кристаллической решетки

Если в самых общих чертах попробовать себе представить строение твердых тел (так как твердые тела в основном кристаллы, то можно нарисовать следующую картину: огромная совокупность одинаковых атомов или молекул, которые во всех трех измерениях расположены в строгом порядке, образуя кристаллическую решетку.

Эта строгая пространственная периодичность в структуре кристалла – характерная его черта. Конечно в реальном кристалле этот строгий порядок нарушается, и эти нарушения означают наличие дефектов. И ещё одна характеристика кристалла: образующие его атомы между собой взаимодействуют.

Исчезновение электрического сопротивления, экранирование внешнего магнитного поля, скачек теплоемкости при сверхпроводящем фазовом переходе – все эти свойства относятся к электронам. Кристаллическая решетка представляет собой как бы сосуд, емкость, в которую налита электронная «жидкость». И вот на первый взгляд при сверхпроводящем переходе меняется свойство жидкости, а сосуд здесь ни причем.

Оказывается, что это неверно. Действительно, в большинстве случаев сверхпроводящий переход почти не влияет на решетку. Но вот кристаллическая решетка на сверхпроводимость влияет, более того определяет сверхпроводимость, причем исключение из этого закона не обнаружено.

Существует много видов кристаллической решетки. Часто одно и то же вещество может иметь разную кристаллическую решетку, то есть одни и те же атомы могут быть расположены друг относительно друга по разному.

Переход от одного типа решетки к другому происходит при изменении либо температуры, либо давление, либо ещё какого-нибудь параметра. Такой переход, как и возникновение сверхпроводимости и плавление является фазовым. Влияние кристаллической решетки на сверхпроводимость продемонстрировал открытый в 1950г. изотоп – эффект. При замене одного изотопа на другой вид кристаллической решетки не меняется, «электронная жидкость» вообще не затрагивается меняется только сила атомов. Оказалось, что от массы атомов зависит Т_с многих сверхпроводников. Чем меньше сила, тем больше Т_с. Более того вид этой зависимости позволили утверждать, что Т_с пропорциональна частоте колебаний атомов решетки, а это сыграло существенную роль в понимании механизма сверхпроводимости.

Изотопический эффект

В 1905г. был открыт ток называемый изотопическим эффектом. Изучая сверхпроводимость у различных изотопов ртути и олова, физики обратили внимание на то обстоятельство что критическая температура Т_к перехода в сверхпроводящее состояния и масса изотопа М связана соотношением Т_kМ^1\2=const.

Изотопы – это атомы одного и того же элемента, в ядрах которых содержаться одинаковое число протонов, но разное число нейтронов. Они имеют одинаковый заряд, но разную массу. Масса изотопа является характеристической решетки кристалла и может влиять на её свойства. От массы зависит, например, частота колебаний в решетки. Она, так же как и критическая температура, обратно пропорциональна массе: n~М^-1\2. Значит, если массу М устремить к бесконечности, то температура перехода Т_к будет стремиться к нулю, то есть чем тяжелее атомы, тем медленнее они колеблются и тем труднее (при меньших температурах) получается идеальная проводимость, а чем выше энергия нулевых колебаний, тем легче.

Таким образом, изотопический эффект указывая на то что колебания решетки участвуют в создании сверхпроводимости! Сверхпроводимость, которая является свойством электронной системы металла, оказывается связанной с состоянием кристаллической решетки. Следовательно, возникновение эффекта сверхпроводимости, обусловлено взаимодействием электронов с решеткой кристалла.

Микроскопическая теория сверхпроводимости Бардина – Купера - Шриффера (БКШ) и Боголюбова

Теория БКШ

Многие ученые разных стран внесли вклад в создании теории сверхпроводимости. Первым из них был советский ученый Л.Д. Ландау. Он первым сопоставил два «странных» явления – сверхпроводимость и сверхтекучесть электронной жидкости.

В 1950г.В.Л. Гинзбург и Л.Д. Ландау предложили феноменологическую теорию сверхпроводимости, позволившую рассмотреть ряд существенных свойств сверхпроводников, описать их поведение во внешнем поле. Теория эта была обоснована Л.П. Горьковым, разработавшим метод исследования сверхпроводящего состояния.

Следующий шаг был сделан почти одновременно советским физиком академиком Н.Н. Боголюбовым и американским физиком Бардиным, Купером и Шриффером. Американские ученые успели несколько раньше поставить последнюю точку.

Сверхпроводимость, как оказалось, проявляется в тех случаях, когда электроны в металле группируются в пары, взаимодействующие через кристаллическую решетку. Она тесно связана между собой, так что разорвать пару и разобщить электроны через трудные мощные связи позволяют электронам двигаться без всякого сопротивления сквозь решетку кристалла.

Исходя из этих представлений Бардин, Купер и Шриффер в 1957г. построили долгожданную микроскопическую теория сверхпроводимости, за которую они в 1972г.были удостоены нобелевской премии. Эта теория, известная сегодня под названием «теория БКШ», не только позволила с уверенностью сказать, что механизм сверхпроводимости ясен, но и впервые привела к установлению связи между критической температурой Т_с и параметрами металлов.

Энергетическая щель

Металл представляет собой систему колеблющихся положительно заряженных ионов, образующих кристаллическую решетку, и систему относительно свободных, как говорят, "коллективизированных" электронов. Поскольку электроны имеют собственный механический момент (спин), равный 1/2, по принципу Паули в каждом квантовом состоянии могут находиться только два электрона с противоположно направленными спинами. А так как концентрация n коллективизированных электронов в металлах велика (n ~ 10²³ — 10²⁴ см⁻³), верхним заполненным энергетическим состояниям соответствует очень большая кинетическая энергия е_F = mV_F²/2≈ (1 — 10) эB. Энергетический спектр электронов, то есть схема расположения уровней энергии, которые могут занимать электроны, квазинепрерывен (уровни расположены очень близко один к другому, рис. 4а). В некотором смысле, электроны ведут себя, как жидкость, заполняющая сосуд: чем больше жидкости, тем выше ее уровень. Поэтому электроны в металле хаотически движутся не со скоростями, определяемыми энергией теплового движения kТ, а с "космическими" скоростями V_F ~ 10⁸ см/с, соответствующими энергии е_F. Между электронами действуют силы кулоновского отталкивания, которые частично экранируются положительным зарядом ионов.

В электрическом поле Е электроны ускоряются в направлении поля и возникает ток. Плотность тока j = neV_E определяется концентрацией электронов n, их зарядом е = 1,6· 10⁻¹⁹Кл и средней скоростью V_E направленного (упорядоченного) движения под действием электрического поля Е. Ускоренные электроны, то есть электроны, у которых скорость V_E увеличивается в поле Е, рассеиваются на тепловых колебаниях решетки, примесях и других неоднородностях, передавая решетке приобретенную в электрическом поле кинетическую энергию:

которая выделяется в виде джоулева тепла (стрелки на рис. 12а). После рассеяния электроны возвращаются к своему начальному значению энергии е_F. Поскольку электроны в металлах никак не связаны между собой, а энергетический спектр квазинепрерывен, любые сколь угодно малые значения энергии, приобретенные в Е, могут при рассеянии передаваться решетке.

Отсутствие электрического сопротивления в сверхпроводящем состоянии указывает на то, что по каким-то причинам электроны перестают рассеиваться кристаллической решеткой. Речь идет о токах 0 < j_s < j _с = neV_c , а следовательно, скоростях V_s направленного движения сверхпроводящих электронов 0 < V_s < V_c и соответственно изменениях энергии 0 < mV_FV_s < mV_FV_c . Это означает, что в энергетическом спектре сверхпроводника возникает область энергий над энергией е_F, шириной ~ mV_FV_C , в которой электроны не рассеиваются решеткой (рис. 12б). Электроны начинают рассеиваться лишь после того, как увеличение кинетической энергии их движения m V_F V_s становится больше m V_F V_c . Исходя из самых общих соображений, можно предположить, что рассеяния не происходит потому, что при таких значениях энергии оно энергетически невыгодно, то есть приводит к увеличению общей энергии (кинетической и потенциальной) коллективизированных электронов. Если рассматривать только кинетическую энергию (как в нормальных металлах), то при рассеянии она всегда уменьшается и, таким образом, процессы рассеяния энергетически выгодны при любых значениях энергии электронов.

Чтобы они стали невыгодны (и не происходили бы), нужно, чтобы электроны в области е_F < е < mV_FV_c обладали отрицательной потенциальной энергией, то есть притягивались бы друг к другу, и эта энергия исчезала бы при рассеянии. Обозначим модуль этой энергии ∆. Чтобы рассеяние в указанной области было энергетически невыгодно, ∆ должно быть равно

∆= mV_FV_c .

Рассмотрим рассеяние электрона с энергией е_F + е' (точка А на рис. 12б). При рассеянии его кинетическая энергия уменьшится (левая красная стрелка), но одновременно возрастет потенциальная энергия на ∆ (правая красная стрелка) и суммарная энергия увеличится. Рассеяние становится энергетически выгодным только при значениях е' > ∆.

В изолированной электронной системе силы притяжения возникнуть не могут. Для их возникновения необходимо участие другой системы, с которой электроны могут взаимодействовать. Существо этого эффекта можно проиллюстрировать на следующей наглядной модели. Положим на установленную горизонтально упругую мембрану тяжелый шар. Под действием силы тяжести мембрана прогнется. Если теперь положить на мембрану второй шар, то пока расстояние между шарами велико, никаких сил взаимодействия между ними не возникает. Но как только один шар попадает в область упругой деформации мембраны, создаваемой вторым шаром (оба шара скатываются в одну лунку), на шары со стороны мембраны начинают действовать силы, стремящиеся сблизить шары до касания. При соприкосновении шаров энергия системы "мембрана−шары" становится минимальной. Величина "силы притяжения" определяется величиной изменения потенциальной энергии второго шара в результате упругой деформации мембраны, создаваемой его партнером. Чем мягче мембрана, тем сильнее шары связываются друг с другом. Заметим, что если мембрана абсолютно жесткая (не деформируемая), то шары с мембраной не взаимодействуют и сил притяжения не возникает.

Допустим теперь, что один шар движется, а создаваемая им деформация (например, в результате инерционности мембраны) отстает во времени и следует за шаром на некотором расстоянии. В этом случае потенциальная энергия системы будет минимальна, когда второй шар движется за первым на определенном расстоянии, находясь в создаваемой им лунке. Ситуация выглядит так, как будто один шар коррелирует движение второго.

Предположим, наконец, что по мембране хаотически движется несколько шаров и их кинетическая энергия такова, что они не локализуются в деформационных лунках. Однако каждый раз, когда какой-нибудь из шаров проходит через лунку, созданную одним из его коллег, его потенциальная энергия понижается на то время, пока он в ней находится. Величина общего понижения потенциальной энергии системы таких движущихся шаров будет, очевидно, определяться величиной изменения потенциальной энергии при каждом попадании в лунку и частотой таких попаданий.

Аналогичный процесс происходит при взаимодействии электронов с ионной решеткой (рис. 13). Электрон, пролетая между соседними ионами, притягивает ионы к себе (на рисунке штриховыми линиями обозначено положение смещенных ионов), в результате чего возникает поляризация решетки — область сжатия ионов, обладающая избыточным положительным зарядом. Время поляризации определяется периодом колебания атомов, то есть происходит за время T ₀ /4 ≈ 10⁻¹³с (при частоте колебания атомов н₀ ~ 10¹³ с⁰−¹). За это время электрон удалится на расстояние о~ V_F Т₀/4 = 10⁸ · 10⁻¹³ = 10⁻⁵ см, то есть на ~ 1000 Е. Когда другой электрон попадает в область поляризации (потенциальную яму), созданную первым электроном, его потенциальная энергия понижается. Можно также считать, что оба электрона притягиваются к области избыточного (поляризационного) положительного заряда и если силы притяжения к нему превышают силы экранированного кулоновского отталкивания этих электронов, возникает результирующая сила притяжения. Такое взаимодействие принято называть электрон-фононным. (Фононы — квазичастицы, описывающие энергетический спектр колебаний кристаллической решетки.)

В 1956 году Куппер показал, что при наличии сколь угодно слабого притяжения между электронами в металле могут образоваться связанные состояния пар электронов, получившие название купперовских пар. Расстояние о ~ 1000 Е, на котором взаимодействуют два электрона, называется длиной корреляции (или длиной когерентности); оно определяет размер пар. Феномен Куппера стал ключом к пониманию природы сверхпроводимости и созданию теории БКШ. В самом деле, каждый электрон в паре Куппера не может рассеяться без того, чтобы пара не разрушилась. Но для того, чтобы разрушить пару, нужно преодолеть энергию связи, которую обычно обозначают 2∆ (∆ на каждый электрон). Таким образом, критическая скорость V_c в формуле (19) определяется энергией связи пар:

 (20)

Выше говорилось о том, что "энергия упорядочения" при переходе в сверхпроводящее состояние соответствует энергии теплового движения, то есть ∆~кТ_с. Подставляя в (20) ∆ = kТ_с для Т_с = 10 К , V_F = 10с⁸ см/с, m = 9,1 · 10−²⁸ г, находим критическую скорость сверхпроводящих электронов: V≈(10³-10⁴)см/с.

При концентрации электронов n = 10²³ см⁻³ критической скорости V_c соответствует плотность критического тока

j_c = enV_c ≈ (10⁷ - 10⁸) А/см².

Полученное значение хорошо согласуется с рассчитанным по правилу Сильсби (4).