ПОЛЮСА И ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НА ПЕРЕХОДНОМ УЧАСТКЕ

Упоминание о полюсах сопровождает любое обсуждение активных фильтров. Например, в этой главе будут рассматри­ваться в основном двухполюсные фильтры. Слово «полюс» взято из той области математики, которая нужна для вывода соотношений, используемых при расчете частотных характери­стик активных фильтров. Нам же для практических целей до­статочно знать, что полюс указывает на слагаемое наклона ха­рактеристики на переходном участке, обусловленное одной (любой) из RС-цепей, используемых для формирования частот­ной характеристики активного фильтра. Мы знаем, что каждая RC-цепъ многокаскадного усилителя вносит в его суммарную скорость спада свои 6 дБ/октава. То же самое верно и для активных фильтров. Каждый полюс (RC-цепъ фильтра) вносит в наклон переходного участка характеристики свои 6 дБ/октава. Например, для двухполюсного фильтра нижних частот наклон в переходной области между f_cp и f_b составляет 12 дБ/октава, а наклон характеристики между f_b и f_cp состав­ляет для пятиполюсного фильтра верхних частот 30 дБ/октава. На рис. 3.9.2, а показана зависимость наклона от числа полюсов для одного из типов фильтров нижних частот (фильтра Баттерворта).

Порядок фильтра — это число его полюсов. Например, фильтр нижних частот второго порядка — это двухполюсный фильтр нижних частот, и его характеристика имеет на переход­ном участке наклона 12 дБ/октава. Фильтр шестого порядка имеет шесть полюсов, и наклон характеристики на переходном участке равен 36 дБ/октава.

Соединяя последовательно (каскадно) фильтры низких по­рядков, можно получать фильтры более высоких порядков. Так, три последовательно соединенных фильтра второго порядка образуют один фильтр шестого порядка. Ниже в этой главе мы рассмотрим некоторые вопросы, связанные с построением таких многокаскадных фильтров.

ТИПЫ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

ФИЛЬТР БАТТЕРВОРТА

Частотная характеристика фильтра Баттерворта в пределах полосы пропускания весьма близка к равномерной, и ее называют максимально плоской. Наклон переходного участка ха­рактеристики фильтра Баттерворта равен 6 дБ/октава на полюс. Таким образом, фильтр Баттерворта восьмого порядка будет иметь наклон переходного участка характеристики, равный 48 дБ/октава.

Фильтр Баттерворта имеет нелинейную фазово-частотную характеристику; другими словами, время, которое требуется для прохождения сигнала через фильтр, зависит от частоты нели­нейно. Поэтому ступенчатый сигнал или импульс, поданный на вход фильтра Баттерворта, называет выброс на его выходе. Используется фильтр Баттерворта в тех случаях, когда желательно иметь одинаковый коэффициент усиления для всех ча­стот в полосе пропускания. На рис. 3.9.2,а показана частотная характеристика фильтра Баттерворта нижних частот, а на рис. 3.9.2,б — характеристика фильтра Баттерворта верхних ча­стот.

ФИЛЬТР ЧЕБЫШЕВА

Характеристика фильтра Чебышева имеет волнообразные зубцы в полосе пропускания и равномерна в полосе подавления; количество зубцов характеристики в полосе пропускания такого фильтра тем больше, чем выше его порядок. Амплитуда этих зубцов может быть задана при конструировании фильтра и обычно устанавливается на уровне 0,5, 1, 2 или 3 дБ, причем увеличение допустимой амплитуды зубцов позволяет получить более крутой наклон характеристики фильтра на переходном участке. Это свойство фильтров Чебышева иллюстрируется на рис. 3.9.3,а на примере низкочастотного фильтра Чебышева вто­рого порядка.

На переходном участке наклон характеристики фильтра Че­бышева может превышать 6 дБ/октава на один полюс. Фильтр Чебышева оказывается весьма полезным в тех случаях, когда желательно иметь на переходном участке очень высокую ско­рость изменения ослабления, т. е. очень крутой наклон характеристики; неравномерность характеристики фильтра в полосе пропускания — цена, которую приходится за это платить. Зави­симость ослабления (в децибелах) на переходном участке (ОПУ) фильтра от частоты имеет вид

ОПУ = 20lg ε + 6(n - 1) + 20n lg(ω/ω_ср),

где n — порядок фильтра, ε — постоянная, принимающая зна­чения между 1 и 0 и характеризующая неравномерность харак­теристики фильтра в полосе пропускания: неравномерность 0,5 дБ соответствует величине ε = 0,3493, а неравномерность 3 дБ — величине ε = 0,9976.

Это больше, чем у фильтра Баттерворта, на величину 20lg ε + 6(n - 1). При данном наклоне переходного участка характеристики фильтры Чебышева могут иметь меньшее число полюсов и быть более простыми, чем фильтры Баттерворта, и их можно использовать в тех случаях, когда не требуется, что­бы амплитудно-частотная характеристика фильтра была равно­мерна в полосе пропускания.

В случае фильтров Чебышева запаздывание по фазе еще более нелинейно, чем для фильтров Баттерворта. Чем выше порядок и чем больше неравномерность (в полосе пропускания) фильтра Чебышева, тем более нелинейна его фазово-частотная характеристика и тем большие выбросы мы получим, подавая на вход такого фильтра ступеньки и импульсы.

Рис. 3.9.3,а. Частотные характеристики фильтров Чебышева.

Нижних частот второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 0,5 дБ (1); 1 дБ (2); 2 дБ (3); ЗдБ (4); на участке А начальный наклон на переходном участке превышает 6 дБ/октава на одни полюс; на участке В скорость изменения ослабления приближается к 6 дБ/октава на одии полюс

Рис. 3.9.3,б. Частотные характеристики фильтров Чебышева.

Верхних частот с неравномерностью в полосе пропускания 3 дБ —шестого порядка (1), четвертого порядка (2), третьего порядка (3), второго порядка (4); f_СР — частота среза

Амплитудно-частотные характеристики фильтров верхних частот Чебышева различных порядков показаны на рис. 3.9.3,б. Отметим, что пик характеристики не совпадает с частотой среза и что его величина меняется в зависимости от неравномерности характеристики в полосе пропускания, как и на рис. 3.9.3,а.

Пи­ковая частота f_п связана с частотой среза f_cp соотношениями

f_п = f_cp  (для фильтра нижних частот),

f_п = f_cp/  (для фильтра верхних частот),

где α — коэффициент затухания.

Ниже в этой главе коэффициент затухания будет рассмотрен более подробно.

ФИЛЬТР БЕССЕЛЯ

О фильтрах Бесселя говорят как о фильтрах с линейной фа­зой или с линейной задержкой. Это значит, что запаздывание по фазе сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его входе линейно возрастает с частотой. Поэтому фильтры Бесселя почти не дают выброса при подаче на их вход ступен­чатых сигналов. Это свойство делает такие фильтры наиболее подходящими для фильтрации прямоугольных колебаний без изменения их формы.

Фильтры Бесселя имеют наклон характеристики на пере­ходном участке менее 6 дБ/октава. Частота среза фильтра Бес­селя определяется как частота, на которой запаздывание по фазе равно половине запаздывания, максимально возможного для данного фильтра:

θ(f_ср) = θ_макс/2 = (nπ/2)/2 рад,

где θ — запаздывание по фазе, n — порядок фильтра.

При таком определении частота среза фильтра Бесселя не равна его частоте на уровне 3 дБ. Это можно видеть из рис. 3.9.4, на котором приведена амплитудно-частотная характеристика фильтра Бесселя.