Постановка задачи оптимального управления процессом

Основной задачей подсистемы оптимизации является расчет такого режима ведения процесса, который доставлял бы выбранной функции цели экстремальное значение (минимум или максимум). При этом необходимо обеспечить соблюдение некоторых технологических ограничений, которые позволяют вести процесс в устойчивом и безаварийном режиме.

Математическая модель [5] процесса окисления сульфидного цинкового концентрата позволяет исследовать влияние температуры, состава и размера частиц концентрата и концентрации кислорода на содержание в огарке кислоторастворимого и связанного в феррит и сульфид цинка. Поэтому содержательная постановка задачи оптимизации может быть сформулирована следующим образом: "Для заданного состава концентрата и размера его частиц рассчитать такие значения температуры кипящего слоя и расхода концентрата, которые обеспечили бы максимальное содержание кислоторастворимого цинка в готовом огарке, при соблюдении технологических ограничений на: температуру слоя, расход дутья, содержание кислорода в дутье".

Постановка задачи оптимального управления в таком виде позволит, во-первых, управлять процессом не косвенно (через температуру в слое), а напрямую (через качество готового огарка), во-вторых, управлять процессом оптимальным образом (минимизацией содержания кислоторастворимого цинка) и, в-третьих, вести процесс в устойчивом и безаварийном режиме (посредством соблюдения технологических ограничений).

Наличие математической модели [5], выбранного метода поиска и заводских требований соблюдения технологических ограничений позволяют сформулировать математическую постановку задачу оптимизации в виде

F_ц = G_Znкр à max, (42)

 (43)

При этом G_Znкр определяется с помощью математической модели [5], для заданных химических и физических свойств концентрата. Однако выбранный алгоритма поиска экстремума методом наискорейшего спуска не позволяет осуществлять поиск при наличии ограничений. Для использования этого метода необходимо преобразовать функцию цели (42) и ограничения (43) к виду

F_ц^*=F_ц+F_штраф (44)

где F_ц^* - новая (преобразованная функция цели, F_штраф - так называемая функция штрафа, величина которой зависит от нарушения технологических ограничений.

При этом штраф накладывается только в случае нарушения верхнего или нижнего ограничения, а его величина может быть рассчитана по следующим образом:

 (45)

где х₁=Т, х₂= , х₃= .

Таким образом при нарушении ограничений функция штрафа будет возрастать тем больше, чем больше нарушено какой-либо ограничение. При необходимости можно выставить "веса" за нарушения какого-либо ограничения, в зависимости от его важности. Тогда функция штрафа будет выглядеть следующим образом:

 (46)

где α_i - "вес" i-й переменной, обозначающей "цену" штрафа за нарушение ограничений на эту переменную.

Таким образом, содержательная и математическая постановки задачи оптимального управления позволяют разработать алгоритм оптимального управления и соответствующее программное обеспечение.