Проблемы оценки дисперсий прогнозов.

Вместе с тем оценка дисперсий таких прогнозов представляет собой достаточно сложную проблему, корректное решение которой в аналитическом виде еще не получено. [5]Раскроем суть этой проблемы. В соответствии с ними, дисперсия прогноза l на точек вперед с использованием модели АРСС(k, m) должна быть определена как математическое ожидание квадрата ошибки прогноза:

(12)

где символ Dх означает ошибку переменной х. В случае детерминированных величин (дисперсия равна нулю) их ошибка должна быть принята равной нулю.

Так, например, дисперсия прогноза процесса, разрабатываемого на один шаг вперед с помощью модели АРСС(1,1) в этом случае должна определяться на основе следующего выражения:

(13)

Дисперсия прогноза на два шага вперед в этом случае будет иметь следующий вид:

(14)

В выражениях (13) и (14) учтено, что ошибка показателей у_T   и  равна нулю, а также, что математическое ожидание ошибки e _T+1  равно нулю.

Теоретически, при известных дисперсиях оценок коэффициентов моделей АРСС(k, m), их взаимных ковариаций, а также дисперсий предыдущих прогнозных значений у_T(l–r), r=1,2,... и дисперсий ошибки e  с помощью выражения (12) оценку дисперсии прогноза s²(у_T+l) определить не слишком сложно, хотя ее математическое выражение и будет выглядеть достаточно громоздко. Однако следует иметь в виду, что, если с помощью рассмотренных в главе VI методов дисперсии (и ковариации) прогнозов у_T+l–r, ошибки e, определить возможно, то дисперсии коэффициентов модели оценить можно лишь приблизительно и то, используя достаточно сложные методы. Это вызвано тем, что оценки моделей АРСС(k, m) определяются либо на основе выборочных значений коэффициентов автокорреляции рассматриваемых процессов (уравнения Юла-Уокера, нелинейные методы оценки коэффициентов скользящего среднего[6]), либо с использованием нелинейных методов оценивания.

В первом случае дисперсии оценок ставятся в зависимость от показателей точности выборочных коэффициентов автокорреляции, которые к тому же сами определяются лишь приблизительно (см. главу VI). Так, например, если для модели АР(1) дисперсию параметра a₁, равного r₁,  можно (с известной погрешностью) приблизительно считать равной 1/Т, s²(a₁)=s²(r₁)=1/Т, где r₁ – первый выборочный коэффициент автокорреляции рассматриваемого процесса, то уже для модели АРСС(1,1) этот коэффициент равен a₁=r₂/r₁ и даже при известных дисперсиях оценок коэффициентов автокорреляции r₁ и r₂ показатель s²(a₁) оценить достаточно сложно. При этом с увеличением размерности модели АРСС(р,q) проблема оценки дисперсий ее коэффициентов, а тем более их ковариаций значительно осложняется.

Нелинейные методы оценки параметров модели также в явном виде не позволяют определить их показатели точности.