Методика применения моделей скользящей средней в эконометрике

 

В моделях скользящего среднего текущее значение стационарного случайного процесса второго порядка y_t представляется в виде линейной комбинации текущего и прошедших значений ошибки e _t, e _t–1, e _t–2,... , по своим свойствам соответствующей “белому шуму”[15]. Такое представление может быть выражено следующим уравнением (модель скользящего среднего порядка m – СС(m)):

(69)

где b₁, b₂,... , b _m   – параметры модели.

В соответствии с определением белого шума ошибка e _t  характеризуется следующими свойствами:

M[e _t]=0, D(e _t)=s _e²=const,

g _i=M[e _t , e _t–i ] =   (70)

Вследствие этого и автокорреляционная функция белого шума имеет очень простую форму

r _i^(e)=1, i=0; r _i^(e)=0, i¹0.                   (71)

С учетом свойств ошибки e _t несложно построить автокорреляционную функцию модели СС(т), определяемой выражением (69). Ее коэффициент ковариации i-го порядка определяется следующим образом:

(72)

При i=0 выражение (72) представляет собой дисперсию процесса y_t, которая в силу свойства (70) выражается через коэффициенты модели СС(т) b _i, i=1, 2,..., т; и дисперсию ошибки s _e² следующим образом:

(73)

Для i=1 из (73) получим, что первый коэффициент ковариации определяется выражением

(74)

Для произвольного i имеем

 (75)

Из соотношения (75) вытекает, что автокорреляционная функция модели СС(т) становится равной нулю после задержки т (обрывается на задержке т).

С учетом выражений (73) и (75) несложно также заметить, что коэффициенты автокорреляции модели скользящего среднего т-го порядка – СС(т) определяются через ее параметры b _i, i=1, 2,..., т; следующим образом:

(76)

Система из т уравнений (76), сформированных для i=1,2,..., т может служить основой для получения оценок b₁, b₂,... , b_m  неизвестных параметров модели СС(т) – b₁, b₂,... , b _m. Для этого необходимо подставить в каждое ее уравнение вместо значений коэффициентов автокорреляции r₁,..., r _m  рассматриваемого процесса y_t  их рассчитанные оценки r₁,..., r_m.

Однако в отличие от уравнений Юла-Уокера эта система нелинейная и ее решение требует использования специальных итеративных процедур расчетов за исключением наиболее простой модели СС(1). Она представляется следующим выражением:

(77)

Из (73) следует, что дисперсии процесса s _у² и ошибки этой модели s _e²  связаны следующим соотношением:

(78)

а ее единственный отличный от нуля первый коэффициент автокорреляции выражается через коэффициент модели как

(79)

Из соотношения (79) несложно получить квадратическое уравнение относительно оценки b₁  неизвестного параметра b₁

(80)

где r₁ – оценка коэффициента автокорреляции первого порядка процесса y_t, т. е. r₁.

В свою очередь, из (80) следует, что существуют два решения этого уравнения, связанные между собой следующим соотношением:

(81)

Условию стационарности процесса y_t  удовлетворяет только решение b по абсолютной величине меньшее единицы. Оно может быть получено из следующего выражения:

(82)

при условии, что

(83)

Из (83) следует, что модели скользящего среднего первого порядка могут применяться только для описания процессов с автокорреляционной функцией, обрывающейся после первой задержки и коэффициентом автокорреляции по абсолютной величине не превышающем 0,5. Из соотношения (83) также вытекает, что данные модели способны лишь незначительно уточнить рассматриваемый процесс y_t, поскольку согласно (78) максимальное соотношение между его дисперсией и дисперсией ошибки не превосходит 1,25

s _у²/s _e²< 1,25 ,                       (84)

т. е. относительный выигрыш в точности не превосходит 25% для дисперсий (чуть более 11% для среднеквадратических ошибок).

В заключение этого раздела приведем основные результаты для модели скользящего среднего второго порядка – СС(2). Ее уравнение в общем виде записывается следующим образом:

(85)

Из (73) непосредственно вытекает, что дисперсии процесса s _у² и ошибки s _e ² связаны следующим соотношением:

(86)

а ее автокорреляционная функция определяют значения коэффициентов автокорреляции, связанные с параметрами модели следующими соотношениями:

                    (87)

 

из которых могут быть найдены оценки коэффициентов модели b₁ и b₂  при известных оценках коэффициентов автокорреляции процесса y_t – r₁ и r₂.

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Многие финансово-экономические показатели наряду с устойчивой тенденцией к росту или уменьшению подвержены сезонным колебаниям. Такие процессы удовлетворительно моделируются временными рядами, включающими в себя как тренд, так и сезонную компоненту (тренд - сезонными временными рядами). Примером такого экономического показателя может служить стоимость акции, растущая в цене в течение ряда лет, по которой ежегодно выплачиваются (например, в начале года) дивиденды. Так как стоимость акции из года в год растет, мы имеем восходящий долгосрочный тренд. Однако, в начале года стоимость акции ниже, чем в конце предыдущего года, так как ее стоимость к концу года включает в себя накопившиеся за год дивиденды. Их получит владелец ценной бумаги, после чего дивиденды уже не входят в стоимость акции, и цена ее уменьшается.

 Для краткосрочного прогнозирования таких процессов можно использовать адаптивные модели с сезонной компонентой, например, модель Хольта-Уинтерса.[16]

2.1. Построение модели Хольта-Уинтерса.

Рассмотрим данный метод на примере роста стоимости акции. Временной ряд, характеризующий стоимость акции за 16 кварталов (4 года) приведен в табл. 2.1. Нас интересуют прогнозные значения цен на эти акции в 1-4 кварталах пятого года.

Таблица 2.1. Цена акции за 16 кварталов (4 года)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	304	320	334	347	323	342	365	375
t	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	342	365	378	399	363	388	419	418

 

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонного временного ряда мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Y_p(t+k) = [ a(t) + k*b(t) ] * F(t+k-L)                                           (2.1)

где k – период упреждения,

Y_p( t )- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

a(t) , b(t)  и F(t) коэффициенты модели, они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для    которого рассчитывается экономический показатель. L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных L=12). Таким образом, если по формуле 3.1 рассчитывается значение экономического показателя, например, за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

    a(t) =  1* Y(t)/F(t-L) + (1 -  1) * [ a(t-1)+b(t-1) ]                 (2.2)

   b(t) =  3* [ a(t) – a(t-1) ] + (1 -  3) * b(t-1)                         (2.3)

   F(t)=  2*Y(t)/a(t)+(1-  2)*F(t-L)                                             (2.4)

Параметры сглаживания a 1 , a 2иa 3подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (то есть чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 2.1 – 2.4 видно, что для расчета a (1) и b (1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (то есть для t =1-1=0). Значения a (0) и b (0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 3.1.

Для оценки начальных значений a(0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 3.1. Линейная модель, имеет вид:

 

Y_p(t) = a(0) + b (0)*t                                                                 (2.5)

 

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b (0) по формулам (2.6-2.9):

                                          (2.6)

a (0) = Y_cp  - b (0)* t _ср                                                (2.7)

 

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 2.1. (то есть к данным за первые 2 года), находим значения a(0)= 300,05, b(0)= 8,60.

Уравнение (2.5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Y_p(t) = 300,05 + 8,60*t.Из этого уравнения находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (см. табл.3.2). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности 1 – 4 кварталов F (-3), F (-2), F (-1) и F (0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 2.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4)   и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 2.1-2.4.

Таблица 2.2. Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели. значений Y_p(t)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	304	320	334	347	323	342	365	375
Yр(t)	308.65	317.25	325.85	334.45	343.05	351.65	360.25	368.85

 

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности первого квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y ( t ) первого квартала первого года, равное Y (1)/ Y_p (1)   и такое же отношение для первого квартала второго года (то есть за пятый квартал t=5) Y (5)/ Y_p (5). Для окончательной, более точной оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин

F (-3)=[ Y (1)/ Y_p (1)+ Y (5)/ Y_p (5)]/2=[304/308,67+323/343,05]/2= =[0,9849+0,9416]/2=0,9633

Аналогично находим оценки коэффициенты сезонности для второго, третьего и четвертого кварталов:

F(-2) = [ Y(2)/Y_p(2) + Y(6)/Y_p(6) ] / 2 =  0,9907

F(-1) = [ Y(3)/Y_p(3) + Y(7)/Y_p(7) ] / 2 =  1,0191

F (0) = [ Y (4)/ Y_p (4) + Y (8)/ Y_p (8) ] / 2 = 1,0271

Oценив значения  a(0), b (0),а такжеF(-3), F(-3), F(-3) и F(0),можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул (2.1-2.4).

Путем перебора возможных значений параметров сглаживания, было установлено, что лучшими являются a 1 = 0,3; a 2 = 0,6; a 3 = 0,3.

Рассчитаем значения Y_p ( t ), a ( t ), b ( t ) и F ( t ) для t =1.

Из уравнение 3.1, полагая t =0, k =1 находим Y_p (1): 

Y_p(0+1)=Y_p(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)=

 =[ 300,05+ 1* 8,60 ] * 0,9633 = 297.32

Из уравнение 2.2-2.4, полагая t =1 находим: 

a(1)=  1*Y(1)/F(-3)+(1-  1)*[a(0)+b(0)]=0.3*304/0,9633+(1-0.3)*[300,05+8,60 ]=310.73

b(1)=  3*[a(1)–a(0)]+(1-  3)*b(0)=0.3*[310.73-300,05]+(1-0.3)*8,60=9.22

F(1)=  2*Y(1)/a(1)+(1-  2)*F(-3)=0.6* 304/310.73+(1-0.6)* 0,9633=0.9723

Аналогично рассчитаем значения Y_p ( t ), a ( t ), b ( t ) и F ( t ) для t =2

 

Yp(2)=[ a(1) + 1 * b(1) ]*Fo(-2)=[ 310.73+1*9,22 ] * 0,9907=316.97

a(2)=  1*Y(2)/F(-2)+(1-  1)*[a(1)+b(1)]=0.3*320/0,9907+0.7*[310,73+9.22]=320.87

b(2)=  3*[a(2)–a(1)]+(1-  3)*b(1)=0.3*[ 320.87-310.73]+0.7* 9.22=9.50

F(2)=  2*Y(2)/a(2)+(1-  2)*Fo(-2)=0.6* 320/320.87+0.4* 0,9907=0.9947

     для  t=3

Yp(3)=[ a(2)+1 * b(2)]*Fo(-1)=[320.87+1*9,50 ]*1.0191=3369

a(3)=  1*Y(3)/F(-1)+(1-  1)*[a(2)+b(2)]=0.3*334/1.0191+0.7*[320,87+9.50]=329.58

b(3)=  3*[a(3)–a(2)]+(1-  3)*b(2)=0.3*[ 329.58-320.87]+0.7* 9.50=9.26

F(3)=  2*Y(3)/a(3)+(1-  2)*F(-1)=0.6*334/329.58+(1-0.6)*1.0191=1.0157

  для  t=4

Yp(4)=[ a(3)+1*b(3)]*F(0)=[329.58+1*9,26 ]*1.0271=348.02

a(4)=  1*Y(4)/F(0)+(1-  1)*[a(3)+b(3)]=0.3*347/1.0271+0.7*[329,58+9.26]=338.54

b(4)=  3*[a(4)–a(3)]+(1-  3)*b(3)=0.3*[338.54-329.58]+0.7* 9.26=9.17

F(4)=  2*Y(4)/a(4)+(1-  2)*F(0)=0.6* 347/338.54+0.4*1.0271=1.0258

   для t=5

Yp (5)=[ a (4)+1* b (4)]* F (1)=[338.54+ 1*9,17]*0.9723=338.08

Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t-L), уточненные в предыдущем году (L=4).

a(5) =  1* Y(5)/F(1)+(1-  1)*[a(4)+b(4)]=0.3*323/0.9723+(1-0.3)*[338.54+9.17 ]=343.06

b(5) =  3*[a(5)–a(4)] +(1-  3)*b(4)=0.3*[343.06-338.54]+(1-0.3)*9.17=7.77

F(5)=  2*Y(5)/a(5)+(1-  2)*F(1)=0.6* 323/343.06+(1-0.6)* 0.9723=0.9538

Продолжая аналогично для t=6,7,8,…,16, строят модель Хольта-Уинтерса (см. табл. 2.3). Максимальное значение t , для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y ( t ). В нашем примете данные приведены за 4 года, то есть за 16 кварталов. Максимальное значение t равно 16. Ошибкой является попытка студента рассчитать или использовать коэффициенты a ( t ), b ( t ) для t > 16.

Таблица 2.3. Модель Хольта-Уинтерса