Детерминированная и случайная составляющая временного ряда.

При анализе временного ряда стараются его видимую изменчивость разделить на две составляющие: закономерную и случайную. Закономерные изменения подчиняется какому-то правилу, а следовательно, они предсказуемы. «Эта составляющая xt может быть вычеслена при каждом t как некоторая функция от текущего момента t. Когда эти параметры неизвестны, их приходиться оценивать по имеющимся наблюдениям - как, например, бывает в случае регрессии» [25]. Случайная изменчивость, оставшаяся неизмеренной, хаотична, для ее описания необходим статистический подход (понятия и методы теории вероятностей и математической статистики).

При выборе модели детерминированной компоненты, в первую очередь, должны учитываться содержательные соображения, а именно те объективные факторы и закономерности, под влияние которых она и формируется. Обычно выделяют три компоненты детерминированной компоненты: тренд (trt), сезонную компоненту (st) и циклическую компоненту (ct). Для дальнейшего исследования нам необходимо подробнее рассмотреть все три понятия.

Как пишут Тюрин и Макаров, термины «тренд», «сезонная компонента» и «циклическая компонента» не имеют общепринятых определений» [25], потому что все они исторически относятся к разным наукам. Авторы предпочли трактовать составляющие детерминированной компоненты с точки зрения экономики, а т.к. это область гуманитарных наук близка к теме нашего исследования, то для нас это приемлемо.

«Трендом временного ряда trt при t = 1, …, n, называют плавно изменяющуюся, не циклическую компоненты, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно» [25].

Примером таких факторов может послужить изменения демографических характеристик популяции, в том числе рост населения, изменения структуры возрастного состава и т.п. Такого рода действия происходят не сразу, не за один короткий отрезок времени, поэтому исследователи могут и предпочитаю описывать их с помощью гладких кривых.

Что касается сезонной компоненты, то она отражает «присущую миру и человеческой деятельности повторяемость процессов во времени». Это составляющая детерминированной компоненты чаще всего служит источником краткосрочных колебаний временного ряда, поэтому после ее выделения заметно снижается вариация остальных компонент.

«Сезонная компонента st временного ряда при t = 1, …, n описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т.п.) Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов» [25].

В конце каждого года, перед новогодними праздниками, всегда возрастает объем продаж, например сувениров или продуктов питания, тоже наблюдается и накануне начала нового учебного года относительно товаров для школьников.

Главная идея подхода к анализу сезонных компонент сводится к тому, что проводить сравнения не между всеми значениями временного ряда, а между значениями через определенный период времени. Например, сравнивать объем продаж канцтоваров в сентябре за несколько лет между собой, а не за все месяцы одного года. «Это позволяет заметно снизить оценку вариации временного ряда около своего среднего значения» [25].

Промежуточное положение между случайной и закономерной составляющими временного ряда занимает циклическая компонента.

«Циклическая компонента ct временного ряда описывает длительные периоды относительного подъема и спада. Она состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности» [25].

Модели тренда.

Ниже рассмотрим наиболее часто используемые при анализе модели трендов. Простейшая линейная модель имеет следующий вид (несмотря на свою простоту, данная модель оказывается полезной при решении реальных задач):

trt = b0 + b1*t.

В тех случаях, когда нелинейный характер тренда очевиден, можно обратиться к одной из следующих моделей [25]:

·   полиномиальная: trt = b0 + b1t + b2t2 + … + bntn, где значение полинома n в практических задачах редко превышает 5;

·   логарифмическая: trt = exp(b0 + b1t), такая модель применяется, когда в данных прослеживается тенденция постоянного прироста;

·   логистическая:

;

·   Гомперца: log(trt) = a - b*rt, где 0 < r < 1.

Логистическая модель и модель Гомперца задают кривые тренда S-образной формы, «они соответствуют процессам с постепенно возрастающими темпами роста в начальной стадии и постепенно затухающими темпами роста в конце» [25].